2010-湖北卷文-17 解-频率分布直方图

本题导读

考查频率直方图。六组频率 0.05/0.20/0.28/0.30/0.15/0.02；(2) $0.30+0.15+0.02=0.47$；(3) $\frac{100}{N}=\frac{6}{120}$，$N=2000$。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出 100 条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）.

(1) 在下面表格中填写相应的频率；

(2) 估计数据落在 $[1.15,1.30)$ 中的概率为多少；

(3) 将上面捕捞的 100 条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出 120 条鱼，其中带有记号的鱼有 6 条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数.

🔍【思路分析】

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1. (1) 各组组距 0.05，纵坐标（频率/组距）依次为 1，4，5.6，6，3，0.4，故频率依次为 0.05，0.20，0.28，0.30，0.15，0.02。
2. (2) 落在 $[1.15,1.30)$ 的频率 $=0.30+0.15+0.02=0.47$。
3. (3) 设总数 $N$，带记号比例 $\frac{100}{N}\approx \frac{6}{120}$，$N=2000$。

✅【答案】

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(1) 频率依次为 0.05，0.20，0.28，0.30，0.15，0.02

(2) 0.47

(3) 约 2000 条

✍【详细解析】

Abstract

(1) 直方图的纵坐标表示频率除以组距，各组组距均为 $0.05$. 由图可知六组的频率密度依次为 $1$，$4$，$5.6$，$6$，$3$，$0.4$， 所以相应频率依次为 $1\times 0.05=0.05,4\times 0.05=0.20,5.6\times 0.05=0.28,$ $6\times 0.05=0.30,3\times 0.05=0.15,0.4\times 0.05=\mathrm{0.02.}$ 这些频率之和为 $1$，与频率分布相符. (2) 数据落在 $[1.15,1.30)$ 内的频率为 $0.30+0.15+0.02=0.47$，所以所估计的概率为 $0.47$. (3) 设水库中鱼的总数为 $N$. 用样本中带记号的鱼所占比例估计水库中带记号鱼所占比例，有 $\frac{100}{N}\approx \frac{6}{120},$ 所以 $N\approx 100\times \frac{120}{6}=2000$. 因此估计该水库中鱼的总数约为 $2000$ 条.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频率分布直方图

核心方法：由各组频数求和定样本容量、算频率，再由频率估计概率

避坑指南：先由直方图补全频率分布表，频率之和为 $1$；再由频率估计”质量在一定范围”的概率与条数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：频率分布直方图是统计的直观载体，频率即面积的度量。

结论推广：直方图中组距$\times$纵轴频率/组距 $=$ 该组频率；所有频率之和为 $1$。

方法推广：用频率估计概率时，样本容量越大估计越准；求”条数”用频率$\times$总数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-14 填-频率分布直方图
• 2011-浙江卷文-13 填-频率分布直方图
• 2012-山东卷文-14 填-频率分布直方图
• 2011-湖北卷文-05 单-频率分布直方图