2007-湖南卷文-14 填-V形区域与线性目标

本题导读

本题考查二元不等式组，以及线性规划。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 设集合 $$\begin{gathered} A= \\ (x,y) \\ midy \\ geqslant|x-2|, \\ x \\ geqslant0 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} B= \\ (x,y) \\ midy \\ leqslant-x+b \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} A \\ capB \\ neq \\ varnothing \end{gathered}$$． （1）$b$ 的取值范围是　　　　； （2）若 $$\begin{gathered} (x,y) \\ inA \\ capB \end{gathered}$$，且 $x+2y$ 的最大值为 9，则 $b$ 的值是　　　　.

🔍【思路分析】

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1. (1) $A$：$$\begin{gathered} y \\ geqslant2-x \end{gathered}$$（$$\begin{gathered} 0 \\ leqslantx \\ leqslant2 \end{gathered}$$）或 $$\begin{gathered} y \\ geqslantx-2 \end{gathered}$$（$$\begin{gathered} x \\ geqslant2 \end{gathered}$$）。
2. $B$ 是直线 $y=-x+b$ 下方。有公共点 $iff$ 直线不低于 $A$ 的”最低谷”：$A$ 在 $x=2$ 处 $$\begin{gathered} y \\ geqslant0 \end{gathered}$$，直线在 $x=2$ 处 $y=b-2$，需 $$\begin{gathered} b-2 \\ geqslant0 \end{gathered}$$，即 $$\begin{gathered} b \\ geqslant2 \end{gathered}$$。
3. (2) 在 $$\begin{gathered} A \\ capB \end{gathered}$$ 内 $$\begin{gathered} y \\ leqslant-x+b \end{gathered}$$，故 $$\begin{gathered} x+2y \\ leqslantx+2(-x+b)=2b-x \end{gathered}$$；又 $$\begin{gathered} x \\ geqslant0 \end{gathered}$$，故 $$\begin{gathered} x+2y \\ leqslant2b \end{gathered}$$，当 $x=0$、$y=b$ 时（$$\begin{gathered} (0,b) \\ inA \end{gathered}$$ 需 $$\begin{gathered} b \\ geqslant2 \end{gathered}$$）取等。
4. $$\begin{gathered} 2b=9 \\ Rightarrowb= \\ dfrac92 \end{gathered}$$。

✅【答案】

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（1）$$\begin{gathered} [2,+ \\ infty) \end{gathered}$$；（2）$dfrac92$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$A$ 即 $$\begin{gathered} y \\ geqslant2-x \end{gathered}$$（$$\begin{gathered} 0 \\ leqslantx \\ leqslant2 \end{gathered}$$）或 $$\begin{gathered} y \\ geqslantx-2 \end{gathered}$$（$$\begin{gathered} x \\ geqslant2 \end{gathered}$$）的点集，呈”V”形区域，最低点 $(2,0)$． $B$ 为直线 $y=-x+b$ 及其下方的点集．$$\begin{gathered} A \\ capB \\ neq \\ varnothing \end{gathered}$$ 当且仅当直线 $y=-x+b$ 与 $A$ 有公共点． 直线过 $(2,b-2)$，需 $$\begin{gathered} b-2 \\ geqslant0 \end{gathered}$$，即 $$\begin{gathered} b \\ geqslant2 \end{gathered}$$；当 $$\begin{gathered} b \\ geqslant2 \end{gathered}$$ 时点 $$\begin{gathered} (0,2) \\ inA \end{gathered}$$ 且 $$\begin{gathered} 2 \\ leqslantb \end{gathered}$$ 使 $$\begin{gathered} (0,2) \\ inB \end{gathered}$$（$$\begin{gathered} 2 \\ leqslant-0+b \end{gathered}$$），公共点存在． 故 $b$ 的取值范围是 $$\begin{gathered} [2,+ \\ infty) \end{gathered}$$． （2）对 $$\begin{gathered} (x,y) \\ inA \\ capB \end{gathered}$$：由 $$\begin{gathered} y \\ leqslant-x+b \end{gathered}$$ 得 $$\begin{gathered} x+2y \\ leqslantx+2(-x+b)=2b-x \end{gathered}$$；又 $$\begin{gathered} x \\ geqslant0 \end{gathered}$$，故 $$\begin{gathered} x+2y \\ leqslant2b \end{gathered}$$，等号当 $x=0$，$y=b$ 时成立． $$\begin{gathered} (0,b) \\ inA \end{gathered}$$ 需 $$\begin{gathered} b \\ geqslant|0-2|=2 \end{gathered}$$，与（1）一致，此时 $x+2y$ 的最大值为 $2b$． 由 $2b=9$ 得 $$\begin{gathered} b= \\ dfrac92 \end{gathered}$$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：V形区域与线性目标

核心方法：(1) 直线过 $(2,b-2)$ 需不低于 V 形谷底 $(2,0)$：$b⩾2$；(2) $x+2y⩽2b-x⩽2b$

避坑指南：双空题两问常联动：$b⩾2$ 保证 $(0,b)\in A$ 才能取等；$x+2y$ 最大在 $x=0$ 处，别代错顶点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合语言包装的线性规划，含参双空题

结论推广：$b⩾2$ 时直线与 V 形区域相交；目标最值 $2b$ 与 $b$ 联动

方法推广：绝对值不等式区域先拆 V 形；最值在边界直线 $x=0$ 处取得

🔗【关联脉络】

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