2015-湖南卷文-04 单-线性规划

本题导读

由约束得 $1-x\le y\le x+1$ 且 $0\le x\le 1$；$z=2x-y$ 在 $y=x+1$ 处最小，$z=x-1\ge -1$。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 1,\\ y-x\le 1,\\ x\le 1,\end{array}$ 则 $z=2x-y$ 的最小值为 ()

A. $-1$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

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由约束得 $1-x\le y\le x+1$ 且 $0\le x\le 1$；$z=2x-y$ 在 $y=x+1$ 处最小，$z=x-1\ge -1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $x+y\ge 1$ 得 $y\ge 1-x$；由 $y-x\le 1$ 得 $y\le x+1$。要使 $y$ 有解需 $1-x\le x+1$，即 $x\ge 0$；结合 $x\le 1$ 得 $0\le x\le 1$。

对固定的 $x$，$z=2x-y$ 随 $y$ 增大而减小，故取 $y=x+1$ 时 $z$ 最小：$z=2x-(x+1)=x-1\ge -1$。

当 $x=0$，$y=1$ 时取等号，最小值为 $-1$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：简单的线性规划问题

核心方法：“先定 $x$ 的范围、再沿 $y$ 取边界”的消元法（或顶点法）

避坑指南：可行域是开区间方向的无界区域的一部分，$z$ 的最小值在边界 $y=x+1$ 上取得，注意 $x\ge 0$ 是隐含约束（由 $1-x\le x+1$ 推出），漏掉会得错误范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三元约束的线性规划小题，用消元法比画图更快，是”代数化解线性规划”的范例。

结论推广：一般地，$z=2x-y$ 在带状区域 $\{1-x\le y\le x+1,0\le x\le 1\}$ 上的最值都在上边界 $y=x+1$ 或下边界 $y=1-x$ 与 $x$ 的端点处取得。

方法推广：约束简单时把 $y$ 的范围解出来，目标函数视为”关于 $x$、$y$ 的线性式”逐层消元。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

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