2007-湖南卷文-15 填-正方体外接球与弦长

本题导读

本题考查正方体外接球，以及球的表面积。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 棱长为 1 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的 8 个顶点都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的表面积是　　　　；设 $E$，$F$ 分别是该正方体的棱 $A{A}_1$，$D{D}_1$ 的中点，则直线 $EF$ 被球 $O$ 截得的线段长为　　　　.

🔍【思路分析】

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1. 外接球直径 = 体对角线：$$\begin{gathered} 2R= \\ sqrt{1}^2+1^2+1^2= \\ sqrt3 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} R= \\ dfrac \\ sqrt32 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} S=4 \\ pi{R}^2=3 \\ pi \end{gathered}$$。
2. 建系：$D$ 为原点，$$\begin{gathered} E \\ left(1,0, \\ dfrac12 \\ right) \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} F \\ left(0,0, \\ dfrac12 \\ right) \end{gathered}$$，直线 $EF$ 沿 $x$ 轴方向、位于 $y=0$，$$\begin{gathered} z= \\ dfrac12 \end{gathered}$$。
3. 球心 $$\begin{gathered} O \\ left( \\ dfrac12, \\ dfrac12, \\ dfrac12 \\ right) \end{gathered}$$ 到直线 $EF$ 的距离 $$\begin{gathered} d= \\ dfrac12 \end{gathered}$$（$y$ 方向偏移）。
4. 弦长 $$\begin{gathered} =2 \\ sqrt{R}^2-d^2=2 \\ sqrt \\ dfrac34- \\ dfrac14= \\ sqrt2 \end{gathered}$$。

✅【答案】

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$$\begin{gathered} 3 \\ pi \end{gathered}$$；$sqrt2$

✍【详细解析】

Abstract

正方体的体对角线即外接球直径：$$\begin{gathered} 2R= \\ sqrt{1}^2+1^2+1^2= \\ sqrt3 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} R= \\ dfrac \\ sqrt32 \end{gathered}$$，表面积 $$\begin{gathered} S=4 \\ pi{R}^2=4 \\ pi \\ cdot \\ dfrac34=3 \\ pi \end{gathered}$$． 以 $D$ 为原点、$DA$，$DC$，$D{D}_1$ 为 $x$，$y$，$z$ 轴建系：$$\begin{gathered} E \\ left(1,0, \\ dfrac12 \\ right) \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} F \\ left(0,0, \\ dfrac12 \\ right) \end{gathered}$$，直线 $EF$ 过点 $$\begin{gathered} left( \\ dfrac12,0, \\ dfrac12 \\ right) \end{gathered}$$、方向 $(1,0,0)$． 球心 $$\begin{gathered} O \\ left( \\ dfrac12, \\ dfrac12, \\ dfrac12 \\ right) \end{gathered}$$ 到直线 $EF$ 的距离 $$\begin{gathered} d= \\ sqrt \\ left( \\ dfrac12-0 \\ right{)}^2+ \\ left( \\ dfrac12- \\ dfrac12 \\ right{)}^2= \\ dfrac12 \end{gathered}$$． 弦长 $$\begin{gathered} =2 \\ sqrt{R}^2-d^2=2 \\ sqrt \\ dfrac34- \\ dfrac14= \\ sqrt2 \end{gathered}$$． 故两空分别为 $$\begin{gathered} 3 \\ pi \end{gathered}$$ 与 $sqrt2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体外接球与弦长

核心方法：$2R=\sqrt{3}$，$S=3\pi$；球心到 $EF$ 距离 $d=\frac{1}{2}$，弦长 $2\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{2}$

避坑指南：外接球直径是体对角线；$EF$ 是两棱中点连线平行于底边，球心到它的距离在建系后一眼看出 $\frac{1}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体外接球与截面弦长，立几双空题

结论推广：外接球 $R=\frac{\sqrt{3}}{2}$；中点连线弦长 $\sqrt{2}$

方法推广：外接球问题抓”体对角线 = 直径”；弦长公式 $2\sqrt{R^2-d^2}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练(Links)

• 2008-湖南卷文-09 单-长方体外接球距离
• 2009-湖南卷理-07
• 2015-湖南卷文-10 单-三视图切削
• 2022-全国甲卷-15