2015-湖南卷文-10 单-三视图切削

本题导读

原工件是底面半径 1、母线 3 的圆锥（高 $2\sqrt{2}$）；正方体顶面四角落在截面圆内解得 $s\le \frac{2\sqrt{2}}{3}$，利用率 $\frac{8}{9\pi }$。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率 $=\frac{\text{新工件的体积}}{\text{原工件的体积}}$） ()

A. $\frac{8}{9\pi }$　　　　　B. $\frac{8}{27\pi }$　　　　　C. $\frac{24(\sqrt{2}-1{)}^3}{\pi }$　　　　　D. $\frac{8(\sqrt{2}-1{)}^3}{\pi }$

🔍【思路分析】

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原工件是底面半径 1、母线 3 的圆锥（高 $2\sqrt{2}$）；正方体顶面四角落在截面圆内解得 $s\le \frac{2\sqrt{2}}{3}$，利用率 $\frac{8}{9\pi }$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知，原工件是底面半径为 1、母线长为 3 的直圆锥，其高 $H=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$。

设正方体棱长为 $s$，底面落在圆锥底面内。在距圆锥底面 $s$ 高度处，圆锥的截面半径 $R=1-\frac{s}{2\sqrt{2}}$。

正方体顶面是边长 $s$ 的正方形，其对角线 $\sqrt{2}s$ 不能超过截面圆的直径 $2R$，即

$\frac{\sqrt{2}s}{2}\le R=1-\frac{s}{2\sqrt{2}}$，解得 $s\le \frac{2\sqrt{2}}{3}$。

取 $s=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$V_{\text{新}}=s^3=\frac{16\sqrt{2}}{27}$；$V_{\text{原}}=\frac{1}{3}\pi \cdot 1^2\cdot 2\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}\pi }{3}$。

故利用率为 $\frac{V_{\text{新}}}{V_{\text{原}}}=\frac{16\sqrt{2}/27}{2\sqrt{2}\pi /3}=\frac{8}{9\pi }$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图；圆锥的内接正方体；体积比

核心方法：轴截面把空间问题平面化：截面半径线性递减，对角线不超直径

避坑指南：①正方体”一个面落在圆锥底面内”，顶面四角才是限制因素（对角线），不要用边长与直径比较；②母线 3 是斜线不是高，先用勾股求高 $2\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图 + 内接体 + 利用率是立体几何压轴选择的综合构型（doc 考点定位：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体）。

结论推广：圆锥（底半径 $r$、高 $H$）内接正方体（底在底面内）棱长 $s$ 满足 $\frac{\sqrt{2}s}{2}=r\left(1-\frac{s}{H}\right)$，即 $s=\frac{2rH}{\sqrt{2}H+2r}$；代入本题 $r=1,H=2\sqrt{2}$ 得 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

方法推广：旋转体内接多面体：一律画轴截面，用”截面半径随高度线性变化”列相似三角形方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练(Links)

• 2015-湖南卷理-13 填-双曲线性质
• 2014-湖南卷理-07 单-三视图还原几何体
• 2012-湖南卷理-18