2007-湖南卷理-04 单-向量垂直模长相等条件

本题导读

本题考查平面向量数量积的代数展开及其几何应用。通过将含有未知参数 $x$ 的多项式函数按照数量积规则展开，将其化为关于 $x$ 的一元代数函数式，利用“图象是一条直线”这一核心条件，判定二次项系数必须为 0， 从而求出向量的根本关系。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 设 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 是非零向量，若函数 $f(x)=(x\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-x\mathbf{b})$ 的图象是一条直线，则必有()

A. $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$　　　　B. $\mathbf{a}//\mathbf{b}$　　　　C. $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$　　　　D. $|\mathbf{a}|\ne |\mathbf{b}|$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 数量积分配律完全展开：

• $f(x)=x\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}-x^2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}-x\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}$。

2. 按照自变量 $x$ 的幂次整理多项式：

• 利用 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}{|}^2$ 且 $\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{b}{|}^2$。
• $f(x)=-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})x^2+\left(|\mathbf{a}{|}^2-|\mathbf{b}{|}^2\right)x+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$。

3. 根据直线几何条件锁定系数：

• 题目说明 $f(x)$ 的图象是一条直线，意味着 $f(x)$ 必须是一个关于 $x$ 的一次（或常数）函数。

• 二次项 $x^2$ 的系数必须严格为 0 $⟹\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$。

• 依据数量积为 0 的几何特质直推出结论。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：应用平面向量数量积的代数分配律， 将函数 $f(x)$ 的表达式进行完全拆括号展开： $f(x)=(x\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-x\mathbf{b})$ $f(x)=x\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}-x^2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}-x\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}$

根据向量性质， 自乘数量积等于其模长的平方， 即 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}{|}^2$， $\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{b}{|}^2$。将多项式按照自变量 $x$ 的降幂顺序进行合并同类项重组： $f(x)=-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})x^2+\left(|\mathbf{a}{|}^2-|\mathbf{b}{|}^2\right)x+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$

因为题干明确给出，函数 $y=f(x)$ 的解析图象是一条直线，这在代数上要求该函数关系式最高次幂不能超过一次， 也就是说二次项 $x^2$ 的系数必须被强制彻底消抹归零： $-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})=0⟹\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$

已知 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 是非零向量（模长均不为0），由数量积等于 0 的几何定义： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0⟺\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量代数乘法分配律公式、多项式函数图象为直线的代数充要条件、向量垂直的数量积判定。
2. 核心方法：多项式系数消元法。
3. 避坑指南：

• 此题一个极高发的思维歧途是误将直线条件看成是一次项系数归零而错选 C。一定要冷静清醒：一元二次方程图象是抛物线， 要让它变成直线， 必须要切除二次项（令二次项系数为 0）， 从而顺理成章推出数量积为 0 实现垂直。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量数量积的坐标与代数运算、一元二次函数与直线的判定是湖南卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是平面向量数量积的坐标与代数运算、一元二次函数与直线的判定的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用数量积代数展开法、多项式系数分析法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-06 单-反函数求解
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-07 单-向量数量积与余弦定理