2007-湖南卷理-06 单-两函数图象交点个数判定

本题导读

本题考查分段函数、对数函数图象的交点个数判定。通过对分段函数的两条支线分别与对数函数建立方程， 结合各自的定义域区间讨论其交点（根）的个数。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}4x-4,x\le 1\\ x^2-4x+3,x>1\end{array}$ 的图象和函数 $g(x)={\log }_{2}x$ 的图象的交点个数是()

A. 4　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

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1. 第一段区间讨论（ $x\le 1$）：

• 已知 $g(x)={\log }_{2}x$ 的定义域为 $x>0$， 故此区间交点只需考虑 $0<x\le 1$。
• 联立方程： $4x-4={\log }_{2}x$。
• 当 $0<x<1$ 时， 直线 $4x-4<0$， 且对数 ${\log }_{2}x<0$。检查特值： $x=1$ 时， 左边 $=0$， 右边 $={\log }_{2}1=0$。故 $x=1$ 是一个交点。
• 由于直线的斜率 $4>0$ 且对数函数在 $(0,1)$ 内极速单调递增（从 $-\infty$ 飙升到 0）， 观察可知在 $(0,1)$ 内部无其他交点。

2. 第二段区间讨论（ $x>1$）：

• 联立方程： $x^2-4x+3={\log }_{2}x⟹(x-1)(x-3)={\log }_{2}x$。
• 分析二次函数 $y=x^2-4x+3$ 与对数函数 $y={\log }_{2}x$ 在 $x>1$ 的走势：
• 二次函数的零点为 $1$ 和 $3$。
• 当 $1<x<3$ 时， 二次函数为负（下凸抛物线槽）， 而对数函数 ${\log }_{2}x>0$ 为正， 两者同号不符， 此时段必无交点。
• 当 $x=3$ 时， 二次函数 $=0$， 对数函数 ${\log }_{2}3>0$， 此时二次函数落后。
• 当 $x>3$ 时， 二次函数为正且呈二次爆炸速度增长， 而对数函数增长极其缓慢。在 $x=4$ 时， 二次函数 $=16-16+3=3$， 对数函数 ${\log }_{2}4=2$， 二次函数实现反超。这说明在 $(3,4)$ 区间内， 两图象必然发生了一次严格的相交。

3. 综合计数：两个区间各有 1 个交点， 累计为 2 个。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：将分段函数 $y=f(x)$ 的两个独立分支分别与对数函数 $g(x)={\log }_{2}x$ 联立， 并在各自对应的自变量有效定义域区间内讨论方程根的个数：

• 第一分部：当 $x\le 1$ 时 由于对数函数 $g(x)={\log }_{2}x$ 的天然真数红线限制为 $x>0$， 故有效讨论范围收窄为 $0<x\le 1$。 联立方程： $4x-4={\log }_{2}x$ 代入端点值 $x=1$ 进行核验：

• 左边 $=4\times 1-4=0$

• 右边 $={\log }_{2}1=0$ 左右两边严格相等， 故 $x=1$ 是一个交点。 再考察开区间 $(0,1)$ 内部：令 $h(x)=4x-4-{\log }_{2}x$。当 $x\to 0^{+}$ 时 $-{\log }_{2}x\to +\infty$， 故 $h(x)\to +\infty$；而 $h(1)=0$。取 $x=0.36$， $h(0.36)\approx 4\times 0.36-4-{\log }_{2}0.36\approx -2.56-(-1.47)=-1.09<0$。由于 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 连续且由正变负， 据零点定理在 $(0,1)$ 内必另有一根。因此第一段共有 2 个交点。

• 第二分部：当 $x>1$ 时 联立方程： $x^2-4x+3={\log }_{2}x⟹(x-1)(x-3)={\log }_{2}x$

• 当 $1<x\le 3$ 时， 二次项乘积 $(x-1)(x-3)\le 0$， 而对数函数 $y={\log }_{2}x>{\log }_{2}1=0$ 恒大于 0。由于一正一负， 在此区间内方程绝无实数解；
• 当 $x>3$ 时， 二次函数为正数且呈开口向上的抛物线飞速飙升增长。 测试关键整数节点的值：
• 当 $x=3$ 时： 二次函数值 $=0$， 对数函数值 $={\log }_{2}3>0$， 此时二次函数在下方；
• 当 $x=4$ 时： 二次函数值 $=4^2-4\times 4+3=3$， 对数函数值 $={\log }_{2}4=2$。此时二次函数值（3）已经成功反超对数函数值（2）。 根据闭区间连续函数零点存在性定理（介值定理）， 抛物线自下而上穿过对数曲线， 必然在开区间 $(3,4)$ 内部留下唯一的一个实数相交根。由于 $x>4$ 后二次函数的增长速度远超对数级， 之后不会再有交点。此段共 1 个交点。

综合上述两个区间的独立探查结果， 两函数图象的交点个数总计为 $2+1=3$ 个。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数定义域的隐含审查、超越方程的区间特值夹逼法（零点定理）、不同阶数函数（二次幂级 vs 对数级）的增长速度差异。
2. 核心方法：数形结合法、特值节点判定法。
3. 避坑指南：

• 本题极容易在第二问中因直觉认为二次函数有两个零点（1和3）就盲目断定有两个交点而误选 B。
• 必须通过代入 $x=3$ 和 $x=4$ 这一细致的常数算术比对， 牢牢卡住正负号的反转（由低于对数曲线变到高于对数曲线）， 从而精确定位出只有一个交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数的图象与性质、对数函数的图象与性质是湖南卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是分段函数的图象与性质、对数函数的图象与性质的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用数形结合数轴作图法、方程根的个数解析法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 2011-山东卷文-10 单-函数图象识别
• 2012-山东卷理-09 单-函数图象