2007-湖南卷理-10 单-分数大小比较去重计数

本题导读

本题考查新定义性质下的集合计数问题。将抽象的“两数中较小者”通过大小排序转化为具体的真分数形式，再通过列举所有可能的分数并剔除值相等的重复项，确定满足条件的最大子集个数。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 设集合 $M=\{1,2,3,4,5,6\}$， $S_1,S_2,\dots ,S_k$ 都是 $M$ 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 $S_i=\{a_i,b_i\}$, $S_j=\{a_j,b_j\}$ ($i\ne j,i,j\in \{1,2,3,\dots ,k\}$)，都有 $\min \left\{\frac{a_i}{b_i},\frac{b_i}{a_i}\right\}\ne \min \left\{\frac{a_j}{b_j},\frac{b_j}{a_j}\right\}$ ($\min \{x,y\}$ 表示两个数 $x$、 $y$ 中的较小者). 则 $k$ 的最大值是()

A. 10　　　　　　　B. 11　　　　　　　C. 12　　　　　　　D. 13

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简新定义运算式：设任意含两元素的子集 $S=\{a,b\}$，不妨设 $a<b$。由于 $a,b$ 为正整数且不相等，则 $\frac{a}{b}<1$，而 $\frac{b}{a}>1$。故 $\min \left\{\frac{a}{b},\frac{b}{a}\right\}=\frac{a}{b}$。

2. 问题模型转换：要求任意两子集的运算值不等，即要求所有取出的子集所对应的真分数 $\frac{a}{b}$ ($a<b$) 的值互不相同。因此， $k$ 的最大值等价于从集合 $M$ 中任取两数构成的所有真分数中，不同数值的个数。

3. 穷举与去重计数：按分母 $b$ 分类列举出所有真分数，划去化简后相等的重复项。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：设 $M$ 的任意一个含两个元素的子集为 $S_i=\{a_i,b_i\}$，不妨设 $a_i<b_i$。 因为 $a_i,b_i\in \{1,2,3,4,5,6\}$ 且 $a_i\ne b_i$，显然有： $\frac{a_i}{b_i}<1\text{且}\frac{b_i}{a_i}>1$ 根据 $\min \{x,y\}$ 的定义，可得： $\min \left\{\frac{a_i}{b_i},\frac{b_i}{a_i}\right\}=\frac{a_i}{b_i}$

原约束条件等价于：各子集产生的真分数 $\frac{a_i}{b_i}$ 的值两两互不相同。 因此， $k$ 的最大值即为从集合 $M=\{1,2,3,4,5,6\}$ 中任取两个不同元素组成真分数 $\frac{a}{b}$ ($a<b$) 的所有不同数值的总个数。

按分母 $b$ 的取值从大到小依次展开穷举：

• 当 $b=2$ 时， $a=1$，产生分数： $\frac{1}{2}$；
• 当 $b=3$ 时， $a=1,2$，产生分数： $\frac{1}{3},\frac{2}{3}$；
• 当 $b=4$ 时， $a=1,2,3$，产生分数： $\frac{1}{4},\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$（重复，舍去）, $\frac{3}{4}$；
• 当 $b=5$ 时， $a=1,2,3,4$，产生分数： $\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}$；
• 当 $b=6$ 时， $a=1,2,3,4,5$，产生分数： $\frac{1}{6},\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$（重复，舍去）, $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$（重复，舍去）, $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$（重复，舍去）, $\frac{5}{6}$。

对所有保留下来的、互不相同的最简真分数进行汇总统计：

• 值为 $\frac{1}{2}$、 $\frac{1}{3}$、 $\frac{2}{3}$、 $\frac{1}{4}$、 $\frac{3}{4}$、 $\frac{1}{5}$、 $\frac{2}{5}$、 $\frac{3}{5}$、 $\frac{4}{5}$、 $\frac{1}{6}$、 $\frac{5}{6}$。

不同分数值的总个数累计为： $k_{\text{max}}=1+2+2+4+2=11\text{ 个}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义符号的化简、真分数的去重筛选计数。
2. 核心方法：无损大小设元法、穷举筛漏法。
3. 避坑指南：

• 不能直接用组合数公式计算 ${\text{C}}_6^2=15$。

• 诸如 $\frac{2}{4},\frac{3}{6}$ 这种化简后都等于 $\frac{1}{2}$ 的情况，其对应的新定义值相同。由于题干要求数值必须相异，必须将这些约分后重合的重复项剔除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自高中数学中集合子集划分与初等数论中既约分数计数的结合。

2. 结论推广: 设集合 $M=\{1,2,\dots ,n\}$，满足相同条件的子集最大个数 $k$ 等于法里数列（Farey sequence） $F_n$ 中在 $(0,1)$ 之间的项数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷理-10 单-向量模长