2007-福建卷文-08 单-向量命题真伪

本题导读

本题考查向量的运算律，以及命题真伪判断。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 对于向量 $a$，$b$，$c$ 和实数 $\lambda$，下列命题中真命题的是 ()

A. 若 $a\cdot b=0$，则 $a=0$ 或 $b=0$　　　　　　B. 若 $\lambda a=0$，则 $\lambda =0$ 或 $a=0$

C. 若 $a^2=b^2$，则 $a=b$ 或 $a=-b$　　　　　D. 若 $a\cdot b=a\cdot c$，则 $b=c$

🔍【思路分析】

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1. A：非零向量垂直时点积为 0，反例成立。
2. B：$\lambda a=0\Rightarrow \lambda =0$ 或 $a=0$（数乘定义），真。
3. C：$a^2=b^2$ 只得 $|a|=|b|$，方向任意，反例 $a$ 与 $b$ 夹角 $60^{\circ }$。
4. D：$a\cdot (b-c)=0$ 只得 $b-c\perp a$，可为非零向量。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

（A）假：$a\perp b$ 且均非零时 $a\cdot b=0$，如 $a=(1,0)$，$b=(0,1)$． （B）真：由数乘定义，$\lambda a=0$ 意味着 $\lambda =0$ 或 $a=0$，二者至少其一成立（消去律）． （C）假：$a^2=b^2$ 即 $|a|=|b|$，方向可以任意，如 $a$ 与 $b$ 成 $60^{\circ }$ 角等长时既不相等也不相反． （D）假：$a\cdot b=a\cdot c\Rightarrow a\cdot (b-c)=0$，只需 $b-c\perp a$，$b=c$ 未必成立． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量命题真伪

核心方法：逐项举反例或验证运算律；数乘消去律成立、点积无消去律

避坑指南：$a\cdot b=a\cdot c$ 不能消 $a$（只能得 $b-c\perp a$）；$a^2=b^2$ 只保证模相等

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量运算律辨析，考查对数乘与点积运算律的准确记忆

结论推广：向量运算中：数乘有消去律，点积没有；模平方相等只保模等

方法推广：判断向量命题真伪通用武器：零向量、垂直、共线、单位向量四类反例

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练(Links)

• 2008-陕西卷文-15 填-向量命题真伪
• 2013-广东卷文-10 单-向量分解真假命题
• 2007-大纲卷I文-03 单-向量垂直的判定
• 2007-浙江卷文-09 单-向量模的不等式