2013-广东卷文-10 单-向量分解真假命题

本题导读

本题考查平面向量基本定理，以及向量的模。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)） 设 $a$ 是已知的平面向量且 $a\ne 0$.关于向量 $a$ 的分解，有如下四个命题： ①给定向量 $b$，总存在向量 $c$，使 $a=b+c$； ②给定向量 $b$ 和 $c$，总存在实数 $\lambda$ 和 $\mu$，使 $a=\lambda b+\mu c$； ③给定单位向量 $b$ 和正数 $\mu$，总存在单位向量 $c$ 和实数 $\lambda$，使 $a=\lambda b+\mu c$； ④给定正数 $\lambda$ 和 $\mu$，总存在单位向量 $b$ 和单位向量 $c$，使 $a=\lambda b+\mu c$. 上述命题中的向量 $b$，$c$ 和 $a$ 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. ①真：取 $c=a-b$ 即可。
2. ②真：$b$，$c$ 不共线，构成平面基底，由平面向量基本定理，分解存在且唯一。
3. ③假：取 $a=(0,2)$，$b=(1,0)$，$\mu =1$，则 $|a-\lambda b|=\sqrt{4+{\lambda }^2}⩾2>1=\mu$，即不存在 $\lambda$ 使 $|a-\lambda b|=|\mu c|=\mu$。
4. ④假：$|a|=|\lambda b+\mu c|⩽\lambda +\mu$ 是必要条件；取 $|a|>\lambda +\mu$ 即无解。
5. 真命题共 $2$ 个。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

①真：对任意给定的 $b$，取 $c=a-b$（不与 $a$，$b$ 共线的要求可满足），则 $a=b+c$ 恒成立。 ②真：$b$，$c$ 两两不共线，故 $b$，$c$ 构成平面的一个基底。由平面向量基本定理，存在唯一的实数对 $\lambda$，$\mu$ 使 $a=\lambda b+\mu c$。 ③假：条件 $a=\lambda b+\mu c$ 等价于 $|a-\lambda b|=\mu |c|=\mu$。取 $a=(0,2)$，$b=(1,0)$，$\mu =1$，则 $|a-\lambda b|=\sqrt{{\lambda }^2+4}⩾2>1=\mu ,$ 无论 $\lambda$ 取何值都无解，命题不成立。 （本质：$a-\lambda b$ 的垂直分量 $\left|a_{\perp }\right|$ 与 $\lambda$ 无关，当 $\left|a_{\perp }\right|>\mu$ 时不可能等于 $\mu$。） ④假：由三角不等式，$|a|=|\lambda b+\mu c|⩽\lambda |b|+\mu |c|=\lambda +\mu$，故 $|a|⩽\lambda +\mu$ 是必要条件。取 $|a|>\lambda +\mu$（例如 $\lambda =\mu =1$，$|a|=3$），则不存在这样的单位向量 $b$，$c$。 真命题为①②，共 $2$ 个。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的分解（存在性命题）

核心方法：①真：$c=a-b$；②真：$b,c$ 不共线作基底；③假：$a=(0,2)$，$b=(1,0)$，$\mu =1$ 时 $|a-\lambda b|=\sqrt{4+{\lambda }^2}>1$；④假：需 $|a|⩽\lambda +\mu$，取 $|a|>\lambda +\mu$ 即反例

避坑指南：存在性命题用”充要条件 + 反例”判断：②的依据是平面向量基本定理（基底不共线）；③把条件改写成 $|a-\lambda b|=\mu$ 后，$a$ 的垂直分量 $\sqrt{|a{|}^2-{\lambda }^2}$… 实际上垂直分量 $\left|a_{\perp }\right|$ 不随 $\lambda$ 变化，$\left|a_{\perp }\right|>\mu$ 时无解；④受三角不等式 $|a|⩽\lambda +\mu$ 限制，$|a|$ 太大必无解。四个命题只判”方向对不对”不看长度约束，就会误选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量基本定理与存在性判断（命题真假，广东卷选择题压轴）。

结论推广：基底分解（基本定理）；向量等式转长度方程找反例；三角不等式作必要条件。

方法推广：逐个命题翻译成”能否解出参数” → 能解的给构造、不能解的举反例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2000-广东卷理-19 解-空间向量的数量积运算
• 2001-上海卷理-14 单-空间向量基本定理
• 1992-全国卷理-26