2007-福建卷文-10 单-双曲线准线与圆

本题导读

本题考查双曲线的准线，以及圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 以双曲线 $x^2-y^2=2$ 的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是 ()

A. $x^2+y^2-4x-3=0$　　　　　　　　　　　　　　　B. $x^2+y^2-4x+3=0$

C. $x^2+y^2+4x-5=0$　　　　　　　　　　　　　　　D. $x^2+y^2+4x+5=0$

🔍【思路分析】

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1. 化标准方程：$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$，$a^2=b^2=2$，$c^2=4$，$c=2$。
2. 右焦点 $(2,0)$，右准线 $x=\frac{a^2}{c}=1$。
3. 圆与准线相切，半径 $r=2-1=1$。
4. $(x-2{)}^2+y^2=1$ 展开成一般式。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $x^2-y^2=2$ 化为 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$，故 $a^2=b^2=2$，$c^2=a^2+b^2=4$，$c=2$． 右焦点 $F(2,0)$，右准线 $x=\frac{a^2}{c}=\frac{2}{2}=1$． 所求圆与右准线相切，圆心在焦点，半径 $r=2-1=1$，方程为 ${\left(x-2\right)}^2+y^2=1$， 展开得 $x^2+y^2-4x+3=0$，故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线准线与圆

核心方法：$x^2-y^2=2$ 化标准得 $a^2=b^2=2$、$c=2$；圆半径=焦点到准线距离

避坑指南：先把方程化成标准形式再读 $a,b,c$；焦点在 $x$ 轴上时准线 $x=\pm \frac{a^2}{c}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线焦点、准线与圆的切线综合，等轴双曲线特例

结论推广：一般地圆心在焦点、与准线相切的圆半径 $r=c-\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{c}$（焦点同侧时）

方法推广：圆锥曲线与圆相切问题先算圆心（焦点）与半径（点到准线距离）

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练(Links)

• 2007-浙江卷文-10 单-双曲线准线直角
• 2007-北京卷文-19 解-圆与双曲线轨迹
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2007-江苏卷-03 单-双曲线渐近线离心率