2007-浙江卷文-10 单-双曲线准线直角

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及准线。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$P$ 是准线上一点，且 $\overrightarrow{P{F}_1}\perp \overrightarrow{P{F}_2}$，$|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=4ab$，则双曲线的离心率是 ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 设 $P\left(-\frac{a^2}{c},y\right)$（取左准线），$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$。
2. 垂直条件：$\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=0$，解出 $y^2$。
3. 算 $|P{F}_1|$，$|P{F}_2|$，代入乘积条件 $4ab$，化出 $c^2$ 与 $a^2$ 的关系。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $P\left(-\frac{a^2}{c},y\right)$ 在左准线上，则 $\overrightarrow{P{F}_1}=\left(-c+\frac{a^2}{c},-y\right)=\left(-\frac{b^2}{c},-y\right),\overrightarrow{P{F}_2}=\left(c+\frac{a^2}{c},-y\right)=\left(\frac{c^2+a^2}{c},-y\right).$ 由 $\overrightarrow{P{F}_1}\perp \overrightarrow{P{F}_2}$，得 $-\frac{b^2\left(c^2+a^2\right)}{c^2}+y^2=0$，即 $y^2=\frac{b^2\left(c^2+a^2\right)}{c^2}$． 于是 $|P{F}_1{|}^2=\frac{b^4}{c^2}+y^2=\frac{b^2\left(b^2+c^2+a^2\right)}{c^2}=\frac{b^2\cdot 2c^2}{c^2}=2b^2,|P{F}_1|=\sqrt{2}b,$ $|P{F}_2{|}^2=\frac{{\left(c^2+a^2\right)}^2}{c^2}+y^2=\frac{\left(c^2+a^2\right)\left(c^2+a^2+b^2\right)}{c^2}=\frac{\left(c^2+a^2\right)\cdot 2c^2}{c^2}=2\left(c^2+a^2\right).$ 代入 $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=4ab$：$\sqrt{2}b\cdot \sqrt{2}\sqrt{c^2+a^2}=4ab$，即 $\sqrt{c^2+a^2}=2a$，故 $c^2=3a^2$，$e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$． 故选 B． （易错点：$P$ 在准线上而不在双曲线上，焦半径公式 $|P{F}_1|=e{x}_0+a$ 不能用，必须老老实实设坐标算距离。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线准线直角

核心方法：设准线上点 $P\left(-\frac{a^2}{c},y\right)$，垂直条件解 $y^2$，距离乘积条件化出 $c^2=3a^2$

避坑指南：$P$ 在准线上不在双曲线上，焦半径公式 $\pm e{x}_0+a$ 禁用；左准线横坐标是 $-\frac{a^2}{c}$ 别漏负号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线焦点三角形与准线结合，是圆锥曲线与向量垂直条件的交汇题

结论推广：准线上对两焦点张直角的点：$\angle F_{1}P{F}_2=90°$ 时 $P$ 的轨迹与准线的交点性质

方法推广：一般化：$|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=\lambda ab$ 类条件都可设准线点坐标硬算，解析几何”设点—垂直—距离”三板斧

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练(Links)

• 2015-山东卷文-15 填-双曲线离心率
• 2007-新课标卷文-13 填-双曲线的离心率（渐近线距离）
• 2007-江苏卷-03 单-双曲线渐近线离心率
• 2019-全国卷II文-20 解-椭圆性质