2007-福建卷文-13 填-二项式常数项

本题导读

本题考查二项式定理，以及常数项。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^6$ 的展开式中常数项是 $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{r+1}=C_6^r{\left(x^2\right)}^{6-r}{\left(\frac{1}{x}\right)}^r=C_6^r{x}^{12-3r}$。
2. 令 $12-3r=0$，$r=4$。
3. $C_6^4=15$。

✅【答案】

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$15$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{r+1}=C_6^r{\left(x^2\right)}^{6-r}{\left(\frac{1}{x}\right)}^r=C_6^r{x}^{12-3r}$． 令 $12-3r=0$，得 $r=4$． 故常数项为 $C_6^4=15$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式常数项

核心方法：通项 $T_{r+1}=C_6^r{x}^{12-3r}$，令指数为 0 解 $r$

避坑指南：${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^6$ 的指数是 $2(6-r)-r=12-3r$；算完 $r$ 记得算组合数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式定理指定项，每年必考基础题

结论推广：推广：${\left(x^p+x^q\right)}^n$ 常数项满足 $p(n-r)+qr=0$

方法推广：通项公式写对幂次是唯一关键，最后用数字作答要求转成数值

🔗【关联脉络】

Multi column

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类题演练(Links)

• 2007-大纲卷II文-16 填-二项式常数项
• 2007-天津卷文-12 填-二项式常数项
• 2007-浙江卷文-06 单-二项式常数项
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