2007-福建卷文-22 解-抛物线轨迹与韦达定理

本题导读

本题考查抛物线轨迹方程。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 如图，已知点 $F(1,0)$，直线 $l$：$x=-1$，$P$ 为平面上的动点，过 $P$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为点 $Q$，且 $\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}\cdot \overrightarrow{FQ}$. （1）求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程. （2）过点 $F$ 的直线交轨迹 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，交直线 $l$ 于点 $M$. ① 已知 $\overrightarrow{MA}={\lambda }_1\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}={\lambda }_2\overrightarrow{BF}$，求 ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ 的值； ② 求 $\left|\overrightarrow{MA}\right|\cdot \left|\overrightarrow{MB}\right|$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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1. （1）$P(x,y)$ 则 $Q(-1,y)$；四个向量代入点积等式化简。
2. （2）①设 $M(-1,-2k)$，交点 $X_i(x_i,k(x_i-1))$，$\overrightarrow{M{X}_i}=(x_i+1)(1,k)$、$\overrightarrow{X_{i}F}=(1-x_i)(1,k)$，${\lambda }_i=\frac{x_i+1}{1-x_i}$。
3. 通分用韦达：$x_1+x_2=2+\frac{4}{k^2}$，$x_1{x}_2=1$，代入化简为 0。
4. ②$|M{X}_i|=(x_i+1)\sqrt{1+k^2}$（$x_i>-1$），乘积用韦达后基本不等式。

✅【答案】

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（1）$y^2=4x$；（2）①${\lambda }_1+{\lambda }_2=0$；②最小值 $16$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $P(x,y)$，则 $Q(-1,y)$． $\overrightarrow{QP}=(x+1,0)$，$\overrightarrow{QF}=(2,-y)$，$\overrightarrow{FP}=(x-1,y)$，$\overrightarrow{FQ}=(-2,y)$． 代入 $\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}\cdot \overrightarrow{FQ}$： $2(x+1)=-2(x-1)+y^2\Rightarrow y^2=4x.$ 轨迹 $C$ 的方程为 $y^2=4x$（$x⩾0$ 的抛物线，焦点 $F$、准线 $l$ 恰为题设）． （2）过 $F$ 的直线斜率 $k\ne 0$（$k=0$ 时与 $l$ 平行不交），方程 $y=k(x-1)$． 代入 $y^2=4x$：$k^2{x}^2-(2k^2+4)x+k^2=0$，$x_1+x_2=2+\frac{4}{k^2}$，$x_1{x}_2=1$（$k^2>0$ 时两根均正）． 直线与 $l$ 交于 $M(-1,-2k)$． ①设交点 $X_i=\left(x_i,k\left(x_i-1\right)\right)$（$i=1,2$），则 $\overrightarrow{M{X}_i}=\left(x_i+1\right)(1,k)$，$\overrightarrow{X_{i}F}=\left(1-x_i\right)(1,k)$， 由 $\overrightarrow{M{X}_i}={\lambda }_i\overrightarrow{X_{i}F}$ 得 ${\lambda }_i=\frac{x_i+1}{1-x_i}=-1+\frac{2}{1-x_i}$． ${\lambda }_1+{\lambda }_2=-2+2\left(\frac{1}{1-x_1}+\frac{1}{1-x_2}\right)=-2+2\cdot \frac{2-(x_1+x_2)}{1-(x_1+x_2)+x_1{x}_2}.$ 代入 $x_1+x_2=2+\frac{4}{k^2}$，$x_1{x}_2=1$：分母 $1-\left(2+\frac{4}{k^2}\right)+1=-\frac{4}{k^2}$，分子 $2-\left(2+\frac{4}{k^2}\right)=-\frac{4}{k^2}$，比值 $1$， 故 ${\lambda }_1+{\lambda }_2=-2+2=0$． ②$|M{X}_i|=(x_i+1)\sqrt{1+k^2}$（$x_i>0>-1$，无需绝对值讨论）， $\left|\overrightarrow{MA}\right|\cdot \left|\overrightarrow{MB}\right|=(1+k^2)(x_1+1)(x_2+1)=(1+k^2)\left(x_1{x}_2+x_1+x_2+1\right).$ 代入韦达：$=(1+k^2)\left(1+2+\frac{4}{k^2}+1\right)=(1+k^2)\left(4+\frac{4}{k^2}\right)=4\left(k^2+2+\frac{1}{k^2}\right)$． 由 $k^2+\frac{1}{k^2}⩾2$（$k^2=1$ 取等），故上式 $⩾4\cdot 4=16$． 所以 $\left|\overrightarrow{MA}\right|\cdot \left|\overrightarrow{MB}\right|$ 的最小值为 $16$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线轨迹与韦达定理

核心方法：向量点积建立轨迹方程；$\lambda$ 用坐标比表出后韦达化简

避坑指南：$\overrightarrow{M{X}_i}=(x_i+1)(1,k)$ 与 $\overrightarrow{X_{i}F}=(1-x_i)(1,k)$ 方向相反，${\lambda }_i$ 为负是正常的；最值用 $k^2+\frac{1}{k^2}⩾2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线定义式轨迹 + 直线与抛物线综合，压轴题

结论推广：推广：$\overrightarrow{MA}={\lambda }_1\overrightarrow{AF}$ 型参数和与韦达定理结合是通用套路

方法推广：解析几何压轴三板斧：设线代方程、韦达定理、基本不等式/判别式收尾

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