2007-江西卷文-12 单-椭圆性质与韦达定理点与圆

本题导读

本题考查椭圆的性质，以及韦达定理。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $e=\frac{1}{2}$，右焦点为 $F(c,0)$，方程 $a{x}^2+bx-c=0$ 的两个实根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则点 $P(x_1,x_2)$ ()

A. 必在圆 $x^2+y^2=2$ 上　　　　　　　　B. 必在圆 $x^2+y^2=2$ 外

C. 必在圆 $x^2+y^2=2$ 内　　　　　　　　D. 以上三种情形都有可能

🔍【思路分析】

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1. $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\Rightarrow c=\frac{a}{2}$，$b^2=a^2-c^2=\frac{3a^2}{4}$。
2. 韦达：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_1{x}_2=-\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}$。
3. $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}<2$，点 $P$ 在圆内。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\Rightarrow c=\frac{a}{2}$，$b^2=a^2-c^2=\frac{3a^2}{4}$，$b=\frac{\sqrt{3}}{2}a$． 方程 $a{x}^2+bx-c=0$ 由韦达定理： $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{\sqrt{3}}{2},x_1{x}_2=-\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}.$ $x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}<2.$ 故 $P(x_1,x_2)$ 到原点距离平方 $\frac{7}{4}<2$，点 $P$ 必在圆 $x^2+y^2=2$ 内，选 C． （易错点：$x_1$，$x_2$ 恰为椭圆上一点的两条焦半径相关值（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 型），但本题只需韦达与判别式 $\Delta =b^2+4ac>0$ 保证实根存在．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆性质与韦达定理点与圆

核心方法：$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ 得 $b=\frac{\sqrt{3}}{2}a$；韦达求 $x_1^2+x_2^2=\frac{7}{4}<2$

避坑指南：点与圆位置看 $x_1^2+x_2^2$ 与 $2$ 的大小；韦达公式中 $-\frac{b}{a}$、$-\frac{c}{a}$ 符号勿错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆性质 + 韦达定理 + 点圆位置，解析几何综合小题

结论推广：$e=\frac{c}{a}$ 联立 $a^2=b^2+c^2$ 求 $b$；韦达求 $x_1^2+x_2^2$

方法推广：点与圆位置关系归结为距离平方与半径平方比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练(Links)

• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2007-福建卷文-22 解-抛物线轨迹与韦达定理
• 2011-大纲卷文-11 单-两圆相切韦达
• 2013-重庆卷文-07 单-二次不等式韦达