2007-福建卷理-01 单-完全平方公式

本题导读

本题考查复数代数形式的四则运算。首先利用完全平方公式将分母中的完全平方式展开并利用 ${\text{i}}^2=-1$ 简化，随后利用倒数关系得出最终的复数形式。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 复数 $\frac{1}{(1+\text{i}{)}^2}$ 等于()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　C. $\frac{1}{2}\text{i}$　　　　　　D. $-\frac{1}{2}\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简分母完全平方式：展开 $(1+\text{i}{)}^2=1+2\text{i}+{\text{i}}^2$。

2. 利用虚数单位性质：代入 ${\text{i}}^2=-1$，分母简化为 $2\text{i}$。

3. 求倒数有理化：计算 $\frac{1}{2\text{i}}$，分子分母同乘 $-\text{i}$ 或利用 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$ 直接得出。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：首先对分母中的完全平方项进行代数展开： $(1+\text{i}{)}^2=1+2\text{i}+{\text{i}}^2$ 将 ${\text{i}}^2=-1$ 代入： $(1+\text{i}{)}^2=1+2\text{i}-1=2\text{i}$

将简化后的分母代回原分式： $\frac{1}{(1+\text{i}{)}^2}=\frac{1}{2\text{i}}$

分子与分母同时乘以 $-\text{i}$（或者利用常用结论 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$）： $\frac{1}{2\text{i}}=\frac{1}{2}\cdot (-\text{i})=-\frac{1}{2}\text{i}$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： $(1+\text{i}{)}^2=2\text{i}$ 的基础常识性质、 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$ 的快捷变换。
2. 核心方法：分母有理化法。
3. 避坑指南：

• 在将 $\frac{1}{\text{i}}$ 转化为 $-\text{i}$ 时，注意不要漏掉负号而误选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于高中数学选修2-2中复数四则运算的基本练习题。

2. 结论推广: 牢记高考复数常用基础组件： $(1\pm \text{i}{)}^2=\pm 2\text{i}$， $\frac{1\pm \text{i}}{1\mp \text{i}}=\pm \text{i}$，可以极大地提升考场运算速度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数