2007-福建卷理-06 单-圆标准方程一般方程

本题导读

本题考查双曲线的几何性质与圆的方程的综合求解。核心在于先由双曲线标准方程求出右焦点坐标（圆心）和渐近线方程，再根据相切条件利用点到直线距离公式求出半径，最后写出圆的方程并展开比对。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 以为双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是()

A. $x^2+y^2-10x+9=0$　　　　　　B. $x^2+y^2-10x+16=0$

C. $x^2+y^2+10x+16=0$　　　　　D. $x^2+y^2+10x+9=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出圆心（右焦点）坐标：

• 由双曲线方程知 $a^2=9,b^2=16⟹c^2=a^2+b^2=9+16=25⟹c=5$。
• 右焦点坐标为 $F(5,0)$。即圆心坐标为 $(5,0)$。

2. 写出渐近线方程：焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{4}{3}x⟹4x\pm 3y=0$。
3. 根据相切求圆的半径 $R$：

• 圆心 $(5,0)$ 到任意一条渐近线（如 $4x-3y=0$）的距离 $d$ 等于半径 $R$。
• 运用点到直线距离公式： $R=\frac{|4\times 5-3\times 0|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{20}{5}=4$。

4. 组装并展开圆的方程：标准方程为 $(x-5{)}^2+y^2=4^2$，彻底展开化为一般方程与选项对位。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：对于已知的双曲线标准方程 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，可得几何参数： $a^2=9⟹a=3,b^2=16⟹b=4$ 根据双曲线中基本量焦距的平方和恒等式 $c^2=a^2+b^2$： $c^2=9+16=25⟹c=5$ 所以，该双曲线的右焦点坐标为 $F(5,0)$。即目标圆的圆心坐标为 $(5,0)$。

由于双曲线的焦点分布在 $x$ 轴上，其对应的两条渐近线方程公式为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{4}{3}x$， 转化为直线的一般式方程为： $4x-3y=0\text{或}4x+3y=0$

因为要求的圆与渐近线相切，所以圆心 $(5,0)$ 到这两条渐近线的垂直距离 $d$ 严格等于圆的半径 $R$。 选择直线 $4x-3y=0$，套用点到直线的距离公式求出半径： $R=d=\frac{|4\times 5-3\times 0|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{20}{\sqrt{16+9}}=\frac{20}{5}=4$

依据圆心坐标 $(5,0)$ 和半径 $R=4$，写出该圆的标准方程： $(x-5{)}^2+y^2=4^2⟹(x-5{)}^2+y^2=16$ 利用完全平方公式将多项式彻底展开化为一般方程： $x^2-10x+25+y^2=16$ $x^2+y^2-10x+25-16=0⟹x^2+y^2-10x+9=0$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线基本量关系（ $c^2=a^2+b^2$）、焦点型渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$、直线与圆相切条件 $d=R$。
2. 核心方法：距离半径转化法。
3. 避坑指南：

• 这是一个非常经典的双曲线与圆复合常考模型。该模型存在一个高频结论：焦点 $(c,0)$ 到渐近线 $bx-ay=0$ 的距离 $d$ 恒等于双曲线的虚轴半长 $b$。
• 证明极其精妙： $d=\frac{|b\cdot c-a\cdot 0|}{\sqrt{b^2+(-a{)}^2}}=\frac{bc}{\sqrt{c^2}}=\frac{bc}{c}=b$。
• 记住这个结论，考场上看到圆与渐近线相切，可以直接口算得知半径 $R=b=4$，从而直接跳过距离公式计算， 节约宝贵的答题时间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的几何性质（渐近线）、直线与圆相切的几何条件是福建卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是双曲线的几何性质（渐近线）、直线与圆相切的几何条件的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用点到直线距离公式法、待定系数方程法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷文-11 单-圆与两线相切定方程
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程
• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义