2007-福建卷理-09 单-数列极限计算

本题导读

本题考查多项式系数和的整体求法与数列极限。核心在于掌握“各项系数和等于令自变量 $x=1$ 时的函数值”这一经典赋值代数性质，将其转化为等比数列求和得到 $a_n$ 的通项，最后求出分式极限。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 把 $1+(1+x)+(1+x{)}^2+\cdots +(1+x{)}^n$ 展开成关于 $x$ 的多项式，其各项系数和为 $a_n$，则 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{2a_n-1}{a_n+1}$ 等于()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求多项式各项系数和的通项 $a_n$：

• 对于任意多项式 $P(x)=A_k{x}^k+\cdots +A_{1}x+A_0$，其各项系数和 $A_k+\cdots +A_0$ 可以通过直接赋值 $x=1$ 获得，即系数和等于 $P(1)$。
• 故 $a_n=1+(1+1)+(1+1{)}^2+\cdots +(1+1{)}^n=1+2+2^2+\cdots +2^n$。

2. 等比数列求和化简 $a_n$：

• 这是一个首项为 1，公比为 2 的等比数列，项数为 $n+1$ 项。
• 套用求和公式： $a_n=\frac{1\cdot (2^{n+1}-1)}{2-1}=2^{n+1}-1$。

3. 将通项代入并求无穷远点极限：

• 代入目标式： $\frac{2(2^{n+1}-1)-1}{(2^{n+1}-1)+1}=\frac{2^{n+2}-3}{2^{n+1}}$。

• 上下同时除以最高阶无穷大项 $2^{n+1}$ 提取极限值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：设多项式解析式为 $P(x)=1+(1+x)+(1+x{)}^2+\cdots +(1+x{)}^n$。 根据多项式的数理代数性质，任何关于 $x$ 的多项式展开式中，其各项系数之和严格等于令自变量 $x=1$ 时所得到的函数值 $P(1)$。

由此直接建立关于各项系数和 $a_n$ 的代数和式： $a_n=P(1)=1+(1+1)+(1+1{)}^2+\cdots +(1+1{)}^n$ $a_n=1+2+2^2+\cdots +2^n$

观察可知，此式是一个标准的等比数列求和。其首项为 $1$，公比为 $2$，总项数为 $n+1$ 项。 套用等比数列前 $n$ 项和公式进行化简归拢： $a_n=\frac{1\times (2^{n+1}-1)}{2-1}=2^{n+1}-1$

将求得的系数和通项公式 $a_n=2^{n+1}-1$ 代入需要求解极限的目标分式中： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{2a_n-1}{a_n+1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{2(2^{n+1}-1)-1}{(2^{n+1}-1)+1}$ 展开并合并分子分母的常数项分量： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{2\cdot 2^{n+1}-2-1}{2^{n+1}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{2^{n+2}-3}{2^{n+1}}$

利用分式的拆分性质，将分子拆开分别相除： ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{2^{n+2}}{2^{n+1}}-\frac{3}{2^{n+1}}\right)={\lim }_{n\to \infty }\left(2-\frac{3}{2^{n+1}}\right)$

当 $n\to \infty$ 时， 分母 $2^{n+1}\to \infty$， 对应的分式无限趋近于 0， 即 $\frac{3}{2^{n+1}}\to 0$。 所以最终的极限值为： $2-0=2$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多项式各项系数和的“ $x=1$ ”赋值原理、首项为1公比为2的 $n+1$ 项等比级数求和、指数型分式数列极限。
2. 核心方法：特值赋值法、抓大放小极限法。
3. 避坑指南：

• 等比求和时极易数错项数。从 $2^0$（即1）一直加到 $2^n$，总项数是 $n+1$ 项，而不是 $n$ 项。如果公式记错成 $2^n-1$，虽然最终极限结果由于高阶无穷大抵消可能侥幸相同，但在过程推导中属于严重原理错误。时刻注意等比数列的项数清点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多项式的各项系数和（赋值法）、等比数列的前n项和公式是福建卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是多项式的各项系数和（赋值法）、等比数列的前n项和公式的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用特值赋值法（ $x=1$ 思想）、最高次项系数比值法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.02 等比数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷理-06 单-二项式定理
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2008-福建卷理-03 单-等比数列