2007-福建卷理-10 单-空间向量立体几何

本题导读

本题考查正四棱柱外接球性质及球面距离的计算。核心在于利用正四棱柱的体对角线求出外接球半径，再通过弦 $AC$ 与球心的几何关系求出球心角，最后利用弧长公式求解球面距离。

📌【题干】

Question

（2007年福健卷(理)） 顶点在同一球面上的正四棱柱 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 中，$AB=1$，$A{A}^{\prime }=\sqrt{2}$，则 $A、C$ 两点间的球面距离为()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{4}\pi$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$

🔍【思路分析】

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1. 求外接球半径 $R$：

• 正四棱柱的底面边长为 $AB=1$，高为 $A{A}^{\prime }=\sqrt{2}$。
• 体对角线长 $l=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{4}=2$。
• 外接球的直径等于体对角线长，即 $2R=2⟹R=1$。

2. 求弦长 $AC$：底面是正方形，边长为 1，其对角线 $AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
3. 求球心角 $\angle AOC$：

• 在 $△AOC$ 中， $OA=OC=R=1$， $AC=\sqrt{2}$。
• 因为 $O{A}^2+O{C}^2=1^2+1^2=2=A{C}^2$，所以 $△AOC$ 是等腰直角三角形，球心角 $\angle AOC=\frac{\pi }{2}$。

4. 计算球面距离：球面距离即为大圆弧长 $s=R\cdot \theta$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：设正四棱柱外接球的球心为 $O$，半径为 $R$。 因为正四棱柱的各个顶点都在该球面上，所以其体对角线 $A{C}^{\prime }$ 恰好为外接球的直径。 依据空间体对角线公式计算直径长度： $2R=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{1+1+2}=\sqrt{4}=2⟹R=1$

在正四棱柱的底面正方形 $ABCD$ 中，边长 $AB=BC=1$，求得底面对角线 $AC$ 的长度： $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

考虑由球心 $O$ 与球面上的点 $A,C$ 构成的三角形 $△AOC$。 明显有 $OA=OC=R=1$。 在 $△AOC$ 中，三边长分别为 $1,1,\sqrt{2}$，满足： $O{A}^2+O{C}^2=1^2+1^2=2=A{C}^2$ 根据勾股定理逆定理可知， $△AOC$ 是以球心 $O$ 为直角顶点的直角三角形， 即 $A、C$ 两点相对于球心的球心角为： $\theta =\angle AOC=\frac{\pi }{2}$

根据球面距离的数理定义，两点间的球面距离即为经过这两点的大圆劣弧长： $s=R\cdot \theta =1\times \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直棱柱体对角线与球直径的映射关系（ $2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$）、球面距离公式 $s=R\theta$。
2. 核心方法：大圆剖面分析法。
3. 避坑指南：

• 很多同学分不清“空间直线距离”与“球面距离”的区别， 错选成 $AC$ 的长度 $\sqrt{2}$。球面距离必须是在球面上走大圆弧的长度， 牢记通过“求半径 $\to$ 求弦长 $\to$ 求中心角 $\to$ 算弧长”的四步死程序求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正四棱柱的外接球、球面距离是福健卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是正四棱柱的外接球、球面距离的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用外接球半径转化法、大圆弧长计算法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式
• 2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积
• 2008-湖南卷文-09 单-长方体外接球距离