2023-甲卷理-15 填-正方体与球

本题导读

本题考查点、线、面在正方体中的位置关系，以及球的定义与性质。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理）在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E,F$ 分别为 $AB,C_1{D}_1$ 的中点，以 $EF$ 为直径的球的球面与该正方体的棱共有 ________ 个公共点．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：为了精确定位，设正方体棱长为 $2$，建立坐标系并写出点 $E,F$ 的坐标。

2. 确定球的基本量：

   • 球心 $O$：直径 $EF$ 的中点即为球心。

   • 半径 $R$：计算 $EF$ 的长度，半径为 $EF/2$。

3. 计算球心到棱的距离：

   • 正方体共有 $12$ 条棱。由于球心恰好位于正方体的中心，根据对称性，球心到这 $12$ 条棱的距离均相等。

   • 计算球心到其中一条棱（如 $C{C}_1$）的距离 $d$。

4. 判定位置关系：

   • 比较距离 $d$ 与半径 $R$ 的大小。若 $d=R$，则球面与棱相切，每条棱有 1 个公共点；若 $d<R$，则相交；若 $d>R$，则相离。

5. 汇总结果：根据每条棱的交点数乘以棱的总数得出答案。

✅【答案】

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$12$

✍【详细解析】

Abstract

1. 坐标化表示：

设正方体棱长为 $2$．以 $D$ 为原点，$DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系．

则相关点坐标为：

$A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0)$．

$D_1(0,0,2),C_1(0,2,2),B_1(2,2,2),A_1(2,0,2)$．

2. 确定球心与半径：

• $E$ 为 $AB$ 的中点 $\Rightarrow E(2,1,0)$；

• $F$ 为 $C_1{D}_1$ 的中点 $\Rightarrow F(0,1,2)$．

• 球心 $O$ 为 $EF$ 中点：

$O=\left(\frac{2+0}{2},\frac{1+1}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(1,1,1)$

可见球心 $O$ 恰好是正方体的中心．

• 半径 $R$：

  $|EF|=\sqrt{(2-0{)}^2+(1-1{)}^2+(0-2{)}^2}=\sqrt{4+0+4}=2\sqrt{2}$

  故半径 $R=\frac{1}{2}|EF|=\sqrt{2}$．

3. 计算球心到棱的距离：

选取棱 $D{D}_1$ 进行分析，该棱位于 $z$ 轴上，其方程为 $x=0,y=0,z\in [0,2]$．

球心 $O(1,1,1)$ 到直线 $D{D}_1$ 的距离 $d$ 为其在 $xOy$ 平面体现点到原点的距离：

$d=\sqrt{(1-0{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{2}$

4. 判定切点位置：

因为 $d=R=\sqrt{2}$，所以球面与直线 $D{D}_1$ 相切．

切点坐标为 $(0,0,1)$．由于 $1\in [0,2]$，该切点落在棱 $D{D}_1$ 上．

故球面与棱 $D{D}_1$ 仅有 $1$ 个公共点．

5. 利用对称性得出结论：

正方体具有高度的对称性，中心 $O$ 到 $12$ 条棱的距离全部相等（均为 $\sqrt{2}$），且各切点均落在棱的中点处。

每一条棱与球面都只有 $1$ 个公共点。

总公共点个数为 $12\times 1=12$．

结论：

共有 $12$ 个公共点．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的定义与几何性质、正方体中心对称性、空间点到直线距离的代数计算。
2. 核心方法：空间直角坐标法。
3. 避坑指南：

• 坐标计算失误：求解中点 $E,F$ 坐标时需对准轴向，避免将 $F$ 点坐标错记为 $(1,0,2)$。
• 切点存在性校验：由 $d=R$ 判定球面与棱所在直线相切后，必须验证切点的坐标是否在棱的线段范围内（即坐标在 $[0,2]$ 内）。若切点落在棱的延长线上，则公共点个数为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查多面体与旋转体的内切、外接及相交关系，属于立体几何中利用代数建系手段解决空间复杂位置关系的常考题型。
2. 结论推广：对于棱长为 $a$ 的正方体，其中心到各顶点距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$，到各棱中点距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$，到各面中心距离为 $\frac{1}{2}a$。以此中心为球心的球：

• 当 $R=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ 时，球过正方体 8 个顶点；
• 当 $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$ 时，球与正方体 12 条棱相切（本题即此模型，棱长为 2 对应的 $R=\sqrt{2}$）；
• 当 $R=\frac{1}{2}a$ 时，球与正方体 6 个面相内切。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-22 解-正方体向量夹角
• 2005-湖北卷理-10 单-线面平行与面面平行的
• 2007-福建卷理-10 单-空间向量立体几何