2007-辽宁卷文-19 解-三角化简与单调区间

本题导读

本题考查三角恒等变换。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)+\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)-2{\cos }^2\frac{\omega x}{2}$，$x\in \mathbf{R}$（其中 $\omega >0$）． （1）求函数 $f(x)$ 的值域； （2）若函数 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=-1$ 的两个相邻交点间的距离为 $\frac{\pi }{2}$，求函数 $y=f(x)$ 的单调增区间．

🔍【思路分析】

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1. 前两项和差化积：$2\sin \omega x\cos \frac{\pi }{6}$；第三项降幂：$-2{\cos }^2\frac{\omega x}{2}=-(1+\cos \omega x)$。
2. 合并：$f(x)=\sqrt{3}\sin \omega x-\cos \omega x-1=2\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)-1$。
3. （1）由 $\sin$ 的范围求值域。
4. （2）$f(x)=-1⟺\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)=0$，相邻交点距离为半周期 $\frac{\pi }{\omega }$，定 $\omega$ 后写增区间。

✅【答案】

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(1)$[-3,1]$；(2)$\omega =2$，单调增区间为 $\left[-\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{\pi }{3}+k\pi \right]$（$k\in \mathbf{Z}$）

✍【详细解析】

Abstract

令 $u=\omega x$．利用和差化积与降幂公式： $f(x)=2\sin (\omega x)\cos \frac{\pi }{6}-\left(1+\cos \omega x\right)=\sqrt{3}\sin (\omega x)-\cos (\omega x)-1=2\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)-1.$ （1） 由 $-1⩽\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)⩽1$，得 $-3⩽f(x)⩽1$，故函数的值域为 $[-3,1]$． （2） $f(x)=-1⟺\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)=0⟺\omega x-\frac{\pi }{6}=k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），相邻两交点的横坐标之差为 $\frac{\pi }{\omega }$．由题设 $\frac{\pi }{\omega }=\frac{\pi }{2}$，得 $\omega =2$． 于是 $f(x)=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)-1$，$f^{\prime }(x)=4\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$． 由 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽2x-\frac{\pi }{6}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi$，得 $-\frac{\pi }{6}+k\pi ⩽x⩽\frac{\pi }{3}+k\pi ,$ 故函数的单调增区间为 $\left[-\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{\pi }{3}+k\pi \right](k\in \mathbf{Z}).$ （相应地，单调减区间为 $\left[\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{5\pi }{6}+k\pi \right]$，$k\in \mathbf{Z}$．） 【注】部分汇编印本第（2）问作”求单调区间”，此时增、减区间都要写出；本库按官方评分参考版本”单调增区间”录入。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角化简与单调区间

核心方法：和差化积 + 降幂 + 辅助角合并

避坑指南：相邻交点距离是半个周期 T/2=π/ω，由它定 ω；写单调区间必须带回 k∈Z；部分印本问”单调区间”，增减都要写

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”三角恒等变换”（和差化积、降幂公式）

结论推广：sin(x+π/6)+sin(x-π/6)=√3sin x 与 -2cos²(x/2)=-(1+cos x) 是两处固定化简

方法推广：先化成 Asin(ωx+φ)+B 的标准形，值域、周期、单调区间一体解决

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2012-四川卷文-18 解-三角恒等变换与值域
• 2008-山东卷文-17 解-三角化一与平移单调
• 2010-湖南卷文-16 解-三角恒等变换最值
• 2011-北京卷文-15 解-三角恒等变换最值