2008-山东卷文-17 解-三角化一与平移单调

本题导读

$f(x)=2\sin \left(\omega x+\phi -\frac{\pi }{6}\right)$，偶函数 $\Rightarrow \phi =\frac{2\pi }{3}$，$T=\pi \Rightarrow \omega =2$，$f(x)=2\cos 2x$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin (\omega x+\phi )-\cos (\omega x+\phi )$（$0<\phi <\pi$，$\omega >0$）为偶函数，且函数 $y=f(x)$ 图象的两相邻对称轴间的距离为 $\frac{\pi }{2}$.

(1)求 $f\left(\frac{\pi }{8}\right)$ 的值；

(2)将函数 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位后，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求 $g(x)$ 的单调递减区间.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$\phi -\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$ 得 $\phi =\frac{2\pi }{3}$；$T=\pi$ 得 $\omega =2$；$f(x)=2\cos 2x$，$f\left(\frac{\pi }{8}\right)=\sqrt{2}$. (2)$g(x)=2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$，令 $2k\pi ⩽2x-\frac{\pi }{3}⩽2k\pi +\pi$.

✅【答案】

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(1)$f\left(\frac{\pi }{8}\right)=\sqrt{2}$ (2)$g(x)$ 的单调递减区间为 $\left[k\pi +\frac{\pi }{6},k\pi +\frac{2\pi }{3}\right]$（$k\in \mathbf{Z}$）

✍【详细解析】

Abstract

(1)$f(x)=\sqrt{3}\sin (\omega x+\phi )-\cos (\omega x+\phi )=2\sin \left(\omega x+\phi -\frac{\pi }{6}\right)$. 因 $f(x)$ 为偶函数，故 $\phi -\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）；由 $0<\phi <\pi$ 得 $\phi =\frac{2\pi }{3}$，此时 $f(x)=2\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{2}\right)=2\cos \omega x$. 相邻对称轴间距 $\frac{\pi }{2}$ 即周期 $T=\pi$，故 $\omega =\frac{2\pi }{T}=2$，$f(x)=2\cos 2x$. $f\left(\frac{\pi }{8}\right)=2\cos \frac{\pi }{4}=2\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$. (2)向右平移 $\frac{\pi }{6}$：$g(x)=f\left(x-\frac{\pi }{6}\right)=2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$. 由 $2k\pi ⩽2x-\frac{\pi }{3}⩽2k\pi +\pi$ 得 $k\pi +\frac{\pi }{6}⩽x⩽k\pi +\frac{2\pi }{3}$. 故 $g(x)$ 的单调递减区间为 $\left[k\pi +\frac{\pi }{6},k\pi +\frac{2\pi }{3}\right]$（$k\in \mathbf{Z}$）.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角公式与图象平移

核心方法：化一后由偶函数锁定相位、由对称轴间距定周期；平移只对 $x$ 进行

避坑指南：偶函数条件是 $$\begin{gathered} varphi- \\ frac \\ pi6= \\ frac \\ pi2+k \\ pi \end{gathered}$$，在 $$\begin{gathered} 0< \\ varphi< \\ pi \end{gathered}$$ 内取 $$\begin{gathered} frac2 \\ pi3 \end{gathered}$$；平移后 $$\begin{gathered} g(x)=2 \\ cos(2x- \\ frac \\ pi3) \end{gathered}$$，减区间解不等式别忘 $$\begin{gathered} k \\ in \\ mathbfZ \end{gathered}$$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角化一+平移是三角大题第一问标配（2009 福建文 19、2011 浙江文 18）

结论推广：由对称轴距离/对称中心反求 $\omega$、$\phi$ 是固定问法

方法推广：化一、定相位、定周期三步流程化；平移只作用在 $x$ 上

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-19 解-三角函数图象平移
• 2010-福建卷文-10 单-图象平移重合定周期
• 2011-浙江卷文-18 解-三角函数图象求参
• 2010-辽宁卷文-06 单-三角图象平移与周期