2007-辽宁卷理-08 单-斜率型目标函数取值范围

本题导读

本题考查线性规划中非线性目标函数的取值范围。核心在于正确绘制不等式组围成的可行域平面图形，并将目标函数 $\frac{y}{x}$ 理解为可行域内的动点与坐标原点连线的“斜率”，通过寻找边界顶点的切线斜率确定最值。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 已知变量 $x、y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+2\le 0\\ x\ge 1\\ x+y-7\le 0\end{array}$，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是()

A. $\left[\frac{9}{5},6\right]$　　　　　　　　　　　　B. $\left(-\infty ,\frac{9}{5}\right]\cup [6,+\infty )$

C. $(-\infty ,3]\cup [6,+\infty )$　　　　　　　　　　D. $[3,6]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制可行域截面：

• 边界线 1： $x-y+2=0$ 对应直线上方。
• 边界线 2： $x=1$ 对应直线右侧。
• 边界线 3： $x+y-7=0$ 对应直线下方。 三线交织在第一象限围成一个闭合的三角形区域。

2. 求出三角形的三个顶点：

• 联立 $x=1$ 与 $x-y+2=0⟹A(1,3)$。
• 联立 $x=1$ 与 $x+y-7=0⟹B(1,6)$。
• 联立 $x-y+2=0$ 与 $x+y-7=0⟹C\left(\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right)$。

3. 几何意义转换：目标函数 $k=\frac{y}{x}=\frac{y-0}{x-0}$，即可行域内的点 $P(x,y)$ 与原点 $O(0,0)$ 连线的斜率。

4. 观察原点与三角形的位置关系，最大和最小斜率必在定点截面处取得。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：首先在平面直角坐标系中画出约束条件对应的可行域区域：

• 直线 $l_1:x-y+2=0$， 不等式 $x-y+2\le 0$ 表示该直线左上方的半平面；
• 直线 $l_2:x=1$， 不等式 $x\ge 1$ 表示该直线右侧的半平面；
• 直线 $l_3:x+y-7=0$， 不等式 $x+y-7\le 0$ 表示该直线左下方的半平面。

这三条边界直线在第一象限共同围成一个闭合的三角形可行域 $△ABC$。 我们通过联立两两直线方程， 求出三个核心顶点的坐标：

1. 联立 $l_1$ 与 $l_2$: $\{\begin{array}{l}x=1\\ x-y+2=0\end{array}⟹A(1,3)$
2. 联立 $l_2$ 与 $l_3$: $\{\begin{array}{l}x=1\\ x+y-7=0\end{array}⟹B(1,6)$
3. 联立 $l_1$ 与 $l_3$: $\{\begin{array}{l}x-y+2=0\\ x+y-7=0\end{array}⟹C\left(\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right)$

目标函数可以设为 $k=\frac{y}{x}$。 从几何角度看， $\frac{y-0}{x-0}$ 表示可行域内的动点 $P(x,y)$ 与坐标原点 $O(0,0)$ 连线的斜率。 因为整个三角形可行域 $△ABC$ 位于第一象限且不包含原点， 随着动点 $P$ 在封闭三角形内移动， 连线 $OP$ 的斜率 $k$ 必在边界端点处取得最大值与最小值。

分别计算原点与三个三角形顶点的连线斜率：

• 与点 $A(1,3)$ 连线的斜率为： $k_{OA}=\frac{3}{1}=3$
• 与点 $B(1,6)$ 连线的斜率为： $k_{OB}=\frac{6}{1}=6$
• 与点 $C\left(\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right)$ 连线的斜率为： $k_{OC}=\frac{9/2}{5/2}=\frac{9}{5}=1.8$

通过数值大小比对： 最小斜率为 $k_{OC}=\frac{9}{5}$， 最大斜率为 $k_{OB}=6$。 由图象的连续性可知， 连线斜率的变化范围完美覆盖这两个极值之间的闭区间。 所以， $\frac{y}{x}$ 的取值范围是 $\left[\frac{9}{5},6\right]$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划可行域绘制、分式型目标函数的斜率几何意义。
2. 核心方法：数形结合边界斜率比对法。
3. 避坑指南：

• 千万不要本能地以为极值一定在 $A$ 点和 $B$ 点处取得。本题中计算出三个顶点的斜率分别为 3、6 和 1.8。如果不算 $C$ 点， 就会误认为范围是 $[3,6]$ 而误选 D。牢记：必须把所有交界顶点的数值全部计算并排列出来， 才能万无一失地挑出真正的绝对最大值与最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：简单线性规划、可行域的绘制与几何意义是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是简单线性规划、可行域的绘制与几何意义的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用数形结合法（斜率法）、顶点代入边界确定法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-06 单-线性规划最小值
• 2008-大纲卷II文-06 单-线性规划最小值
• 2008-大纲卷II理-05 单-线性规划