2008-大纲卷II文-06 单-线性规划最小值

本题导读

考查线性规划。画可行域得三个顶点，$z=x-3y$ 在 $(-2,2)$ 处最小，$z=-2-6=-8$，选 D。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件：$\{\begin{array}{l}y⩾x,\\ x+2y⩽2,\\ x⩾-2,\end{array}$ 则 $z=x-3y$ 的最小值为()

A. $-2$　　　　　　　B. $-4$　　　　　　　C. $-6$　　　　　　　D. $-8$

🔍【思路分析】

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1. 画边界 $y=x$、$x+2y=2$、$x=-2$，确定可行域。
2. 顶点：$(-2,-2)$（$x=-2$ 与 $y=x$）、$(-2,2)$（$x=-2$ 与 $x+2y=2$）、$\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$（$y=x$ 与 $x+2y=2$）。
3. 逐顶点代入 $z=x-3y$ 比较大小。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

三条边界直线 $y=x$、$x+2y=2$、$x=-2$ 围成的可行域顶点为 $(-2,-2),(-2,2),\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).$ 逐点计算 $z=x-3y$： $(-2,-2)$：$z=-2+6=4$；$(-2,2)$：$z=-2-6=-8$；$\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$：$z=\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3}$. 所以 $z_{\min }=-8$. 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最值

核心方法：顶点 $(-2,2)$ 处 $z=x-3y=-8$ 最小

避坑指南：可行域由三条半平面围成三角形；目标函数 $z=x-3y$ 中 $y$ 系数为负，$z$ 越小直线越靠”上”；逐顶点代入是最稳的求法，画图时注意 $y⩾x$ 的方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划是大纲卷文常客，2010 大纲Ⅱ文第 5 题、2009 天津文第 2 题同型。

结论推广：可行域顶点 = 两两边界直线交点中满足约束者；$z=ax+by$ 最值在顶点处取到。

方法推广：先画边界定区域，再列全部顶点逐一代入；$b<0$ 时”最大在左下、最小在左上”等直观判断需用顶点值复核。

🔗【关联脉络】

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