2007-辽宁卷理-11 单-焦点三角形面积公式余弦定理

本题导读

本题考查双曲线焦点三角形的面积求解。核心在于利用双曲线的第一定义（动点到两焦点距离之差的绝对值等于 $2a$）结合题目给出的比例解出两条焦点半径，再利用余弦定理求出夹角的余弦值，进而求得面积。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 设 $P$ 为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{12}=1$ 上的一点， $F_1、F_2$ 是该双曲线的两个焦点. 若 $|P{F}_1|:|P{F}_2|=3:2$，则 $△P{F}_1{F}_2$ 的面积为()

A. $6\sqrt{3}$　　　　　　B. 12　　　　　　C. $12\sqrt{3}$　　　　　　D. 24

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取双曲线基本量：

• 由 $x^2-\frac{y^2}{12}=1⟹a^2=1⟹a=1$。
• $b^2=12$。
• $c^2=a^2+b^2=1+12=13⟹c=\sqrt{13}$。焦距 $|F_1{F}_2|=2c=2\sqrt{13}$。

2. 应用双曲线定义求解焦点半径：

• 设 $|P{F}_1|=3k,|P{F}_2|=2k(k>0)$。
• 根据定义，点 $P$ 在右支时有 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a⟹3k-2k=2\times 1⟹k=2$。
• 从而解得： $|P{F}_1|=6,|P{F}_2|=4$。

3. 计算面积（两种方法）：

• 方法一：在 $△P{F}_1{F}_2$ 中利用余弦定理求出 $\cos \angle F_{1}P{F}_2$，转换为正弦值后用面积公式 $S=\frac{1}{2}|P{F}_1||P{F}_2|\sin \angle F_{1}P{F}_2$ 求解。

• 方法二：直接套用双曲线焦点三角形高频面积结论公式： $S=\frac{b^2}{\tan \frac{\theta }{2}}$，利用余弦定理结合二倍角半角公式计算。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

解：由双曲线的标准方程 $x^2-\frac{y^2}{12}=1$ 可得： $a^2=1⟹a=1$ $b^2=12$ 根据双曲线基本量性质 $c^2=a^2+b^2$，可得： $c^2=1+12=13⟹|F_1{F}_2|=2c=2\sqrt{13}$

已知比例 $|P{F}_1|:|P{F}_2|=3:2$， 且显然有 $|P{F}_1|>|P{F}_2|$。 可以设 $|P{F}_1|=3k,|P{F}_2|=2k(k>0)$。 根据双曲线的第一定义， 曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于实轴长 $2a$： $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a⟹3k-2k=2\times 1⟹k=2$ 从而求得两条焦点半径的确切长度： $|P{F}_1|=3\times 2=6,|P{F}_2|=2\times 2=4$

在 $△P{F}_1{F}_2$ 中， 设 $\angle F_{1}P{F}_2=\theta$。 已知三边长度分别为 $6,4$ 和 $2\sqrt{13}$， 根据余弦定理有： $\cos \theta =\frac{|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2-|F_1{F}_2{|}^2}{2|P{F}_1||P{F}_2|}$ $\cos \theta =\frac{6^2+4^2-(2\sqrt{13}{)}^2}{2\times 6\times 4}=\frac{36+16-52}{48}=\frac{0}{48}=0$ 因为 $\cos \theta =0$， 且 $0<\theta <\pi$， 这说明 $\angle F_{1}P{F}_2=\frac{\pi }{2}$， 即 $△P{F}_1{F}_2$ 是一个以 $P$ 为直角顶点的直角三角形。

所以， 焦点三角形的面积为： $S_{△P{F}_1{F}_2}=\frac{1}{2}\times |P{F}_1|\times |P{F}_2|\times \sin \frac{\pi }{2}=\frac{1}{2}\times 6\times 4\times 1=12$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线定义中焦半径之差等于 $2a$、余弦定理判定三角形特殊夹角。
2. 核心方法：定义法与解三角形结合。
3. 避坑指南：

• 本题算出的 $\cos \theta =0$ 是一个极度完美的特殊值（直角），大大简化了最后的面积运算。如果遇到非直角，要熟练利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 进行正余弦转换，再代入面积公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的标准方程与几何性质、双曲线的第一定义（焦点半径差）是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是双曲线的标准方程与几何性质、双曲线的第一定义（焦点半径差）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用核心量比例代换法、焦点三角形面积模型公式法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2012-大纲卷理-08 单-椭圆
• 2013-北京卷理-06 单-双曲线性质