2013-北京卷理-06 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$，则其渐近线方程为()

A. $y=\pm 2x$　　　　B. $y=\pm \sqrt{2}x$　　　　C. $y=\pm \frac{1}{2}x$　　　　D. $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别双曲线基本量：方程为焦点在 $x$ 轴上的标准形式，渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

2. 利用离心率建立等式：已知 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，由此可得 $c=\sqrt{3}a$。

3. 利用基本关系式：双曲线中满足 $c^2=a^2+b^2$。将 $c$ 代换为 $a$ 的表达式，解出 $b$ 与 $a$ 的关系。

4. 求解渐近线斜率：求出比值 $\frac{b}{a}$，即可得到渐近线方程。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用离心率求 $a,c$ 关系

已知离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，

平方得 $\frac{c^2}{a^2}=3$，即 $c^2=3a^2$。

第二步：利用 $a,b,c$ 的性质求 $b,a$ 关系

在双曲线中，$c^2=a^2+b^2$。

代入 $c^2=3a^2$ 得：

$3a^2=a^2+b^2$

$b^2=2a^2$

由此得 $\frac{b^2}{a^2}=2$，即 $\frac{b}{a}=\sqrt{2}$。

第三步：确定渐近线方程

对于焦点在 $x$ 轴的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其渐近线方程为：

$y=\pm \frac{b}{a}x$

代入 $\frac{b}{a}=\sqrt{2}$，得渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{2}x$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线中 $a,b,c$ 的几何意义及相互关系；离心率与渐近线斜率的内在联系。

核心方法：“比例代换法”。在圆锥曲线题目中，如果不要求求具体数值，通过比例关系（如 $\frac{c}{a},\frac{b}{a}$）往往能更快得到结果。

避坑指南：容易混淆双曲线和椭圆中 $a,b,c$ 的关系。双曲线是 $c^2=a^2+b^2$，且渐近线斜率与 $a,b$ 的位置（焦点在 $x$ 轴还是 $y$ 轴）密切相关。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的通径、等轴双曲线（$e=\sqrt{2}$）。

结论推广：对于焦点在 $x$ 轴的双曲线，离心率 $e$ 与渐近线斜率 $k$ 的关系满足 $k^2=e^2-1$。本题中 $k^2=3-1=2⟹k=\sqrt{2}$。

方法推广：涉及圆锥曲线的性质题目，建议先在草稿纸上罗列出该曲线对应的所有基本公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2025-上海卷-15 单-双曲线的性质
• 2025-新高考II卷-11 多-双曲线几何性质
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线