2007-辽宁卷理-12 单-构造反例反证法思维

本题导读

本题是一道注重考查数学函数极值本质概念的抽象选择压轴题。核心在于理解“仅当 $x=0$ 时函数值为 0，且 $f(x)\ge g(x)$”这一严密的几何拓扑约束：即函数 $f(x)$ 的图象除原点外，恒在 $g(x)$ 的上方或与其重合。通过绘制各种可能的局部极值曲线形状对选项进行排查。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的连续函数，如果 $f(x)$ 与 $g(x)$ 仅当 $x=0$ 时的函数值为 0，且 $f(x)\ge g(x)$，那么下列情形不可能出现的是()

A. 0 是 $f(x)$ 的极大值，也是 $g(x)$ 的极大值

B. 0 是 $f(x)$ 的极小值，也是 $g(x)$ 的极小值

C. 0 是 $f(x)$ 的极大值，但不是 $g(x)$ 的极值

D. 0 是 $f(x)$ 的极小值，但不是 $g(x)$ 的极值

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提炼核心约束条件：

• $f(0)=g(0)=0$。
• 当 $x\ne 0$ 时， $f(x)\ne 0$ 且 $g(x)\ne 0$。
• 在整个定义域上， 恒有 $f(x)\ge g(x)$。

2. 分析极值特征的几何表现：

• “0 是 $f(x)$ 的极大值”意味着在 $x=0$ 附近， $f(x)\le f(0)=0$。由于 $x\ne 0$ 时 $f(x)\ne 0$，所以在 0 附近的局部区间内， 必有 $f(x)<0$（图象在 $x$ 轴下方）。
• “0 是 $f(x)$ 的极小值”意味着在 $x=0$ 附近， $f(x)\ge f(0)=0⟹f(x)>0$（图象在 $x$ 轴上方）。

3. 逐项画图寻找可行性（或反例）：

• 检验 (C)：若 0 是 $f(x)$ 的极大值 $⟹f(x)$ 在原点两侧均小于 0。而 $f(x)\ge g(x)⟹g(x)$ 在原点两侧也必须小于 0（且比 $f(x)$ 更低）。由于 $g(0)=0$，这迫使 $g(x)$ 在原点处也必须满足局部不大于 0，即 0必须也是 $g(x)$ 的极大值。这与 (C) “但不是 $g(x)$ 的极值”产生了不可调和的逻辑冲突。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

解：根据题意， 两个连续函数满足 $f(0)=g(0)=0$，且当 $x\ne 0$ 时， $f(x)$ 与 $g(x)$ 均不等于 0。 在全域上满足几何约束： $f(x)\ge g(x)$。我们对各选项对应的极值定义与曲线形态进行全面审视：

• 对于 (A)：若 0 是 $f(x)$ 的极大值，也是 $g(x)$ 的极大值。 这意味着在 $x=0$ 邻域内（ $x\ne 0$）， $f(x)<0,g(x)<0$。 我们可以成功构造出一组反例函数：令 $f(x)=-x^2$， $g(x)=-2x^2$。 显然 $f(0)=g(0)=0$；当 $x\ne 0$ 时均不为 0；且 $-x^2\ge -2x^2$ 恒成立。 此时 0 显然是这两个函数的极大值。此情形可能出现，排除 A。

• 对于 (B)：若 0 是 $f(x)$ 的极小值，也是 $g(x)$ 的极小值。 这意味着在 $x=0$ 邻域内（ $x\ne 0$）， $f(x)>0,g(x)>0$。 我们可以成功构造出一组反例函数：令 $f(x)=2x^2$， $g(x)=x^2$。 由于 $2x^2\ge x^2$ 恒成立，且 0 都是两者的极小值。此情形可能出现，排除 B。

• 对于 (D)：若 0 是 $f(x)$ 的极小值，但不是 $g(x)$ 的极值。 0 是 $f(x)$ 的极小值 $⟹$ 在 $x=0$ 附近， $f(x)>0$（曲线在 $x$ 轴上方）。 而 0 不是 $g(x)$ 的极值 $⟹g(x)$ 在 $x=0$ 处穿过 $x$ 轴（一侧大于 0，一侧小于 0）。 我们可以成功构造出一组反例函数：令 $f(x)=x^2+x^4$， $g(x)=x^3$。

• 当 $x>0$ 时， $x^2+x^4>x^3$ 显然成立；

• 当 $x<0$ 时， $f(x)>0$ 而 $g(x)<0$， 故 $f(x)>g(x)$ 亦成立。 此时 0 是 $f(x)$ 的极小值，而 $g(x)=x^3$ 在零处单调递增不是极值点。此情形可能出现，排除 D。

• 对于 (C)：若 0 是 $f(x)$ 的极大值。 根据极值的严格局部定义，在 $x=0$ 附近的某去心邻域内， 恒满足 $f(x)<f(0)=0$。 又因为题目给定核心不等式约束：对任意 $x\in \mathbf{R}$， 恒有 $g(x)\le f(x)$。 将上述两项不等式进行链条传导叠加， 可得： 在 $x=0$ 的该局部去心邻域内， 必然有 $g(x)\le f(x)<0$。 也就是说， 在 $x=0$ 附近的所有点处， 均有： $g(x)<0$ 而已知条件规定 $g(0)=0$， 从而在原点邻域内恒有 $g(x)<g(0)$。 这根据定义直接判定： 0 必须且只能是 $g(x)$ 的极大值。 因此， 绝对不可能出现“0 是 $f(x)$ 的极大值，但不是 $g(x)$ 的极值”这种情况。

本题要求选出不可能出现的情形。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数极值的局部邻域定义、不等式的代数传导性、抽象函数的性质。
2. 避坑指南：

• 解答此类高度抽象的函数新定义概念选择题时，最有效的两大法宝是“画图”和“特值构造”。
• 记住一个极其关键的定性几何直观： $f(x)\ge g(x)$ 代表 $f(x)$ 的曲线在整体上是“压在” $g(x)$ 上方的。如果上方的曲线在原点处形成了一个向下探的“极大值山顶”（即山顶最高为 0）， 那么被它死死压在底下的 $g(x)$ 曲线在原点（高度也为 0）处， 唯一的选择只能是被逼着一起形成一个山顶（极大值）， 绝无可能直接穿过去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：连续函数的极值概念、函数图象的位置关系与不等式是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是连续函数的极值概念、函数图象的位置关系与不等式的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用几何直观图象法、极端位置排除法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 2010-福建卷理-10 单-不等式
• 2013-福建卷文-12 单-极值点迁移