2013-福建卷文-12 单-极值点迁移

本题导读

本题考查函数的极值，以及函数图象的变换。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，$x_0$（$x_0\ne 0$）是 $f(x)$ 的极大值点，以下结论一定正确的是()

A. $\forall x\in \mathbf{R}$，$f(x)⩽f(x_0)$　　　　　　　　B. $-x_0$ 是 $f(-x)$ 的极小值点

C. $-x_0$ 是 $-f(x)$ 的极小值点　　　　D. $-x_0$ 是 $-f(-x)$ 的极小值点

🔍【思路分析】

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1. （A）极大值只是局部最大，不是全局最大，反例 $f(x)=x^3-3x$，$x_0=-1$，$f(3)=18>f(-1)=2$。
2. （B）$f(-x)$ 的图象由 $f(x)$ 关于 $y$ 轴翻转，极值点变 $-x_0$、仍是极大值点。
3. （C）$-f(x)$ 关于 $x$ 轴翻转，极值点仍是 $x_0$（且变极小）。
4. （D）$-f(-x)$ 双翻转，极值点变 $-x_0$、且因函数值取反变极小值点。正确。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

（A）错误：极大值点是局部概念，不保证全局最大。反例：$f(x)=x^3-3x$，$x_0=-1$ 是极大值点，$f(-1)=2$，但 $f(3)=18>2$。 （B）错误：$y=f(-x)$ 的图象由 $y=f(x)$ 关于 $y$ 轴翻折得到，$x_0$ 处的极大变为 $-x_0$ 处的极大，即 $-x_0$ 是 $f(-x)$ 的极大值点。 （C）错误：$y=-f(x)$ 的图象由 $y=f(x)$ 关于 $x$ 轴翻折得到，极大变极小，但极值点位置仍是 $x_0$，而不是 $-x_0$。 （D）正确：$y=-f(-x)$ 先关于 $y$ 轴翻折再关于 $x$ 轴翻折，$x_0$ 的极大值点先移到 $-x_0$，再因函数值取反而变为极小值点。故 $-x_0$ 是 $-f(-x)$ 的极小值点。 （用 $f(x)=-x^2+2x$ 抽查：$x_0=1$ 是极大值点，$-f(-x)=-x^2-2x$ 在 $x=-1$ 处取极小值 $1$，符合（D）。） 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极值点经复合变换后的位置

核心方法：$x_0$ 是 $f$ 的极大值点 → $-x_0$ 是 $-f(-x)$ 的极小值点（取反函数值 + 翻转自变量，极值类型跟着翻转）

避坑指南：三条变换法则要背牢：$f(-x)$ 极值点在 $-x_0$、类型不变；$-f(x)$ 极值点在 $x_0$、类型翻转；$-f(-x)$ 极值点在 $-x_0$、类型翻转。选项 B 恰好把”$f(-x)$ 型”与”$-f(x)$ 型”混在一起设错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数极值点的变换性质与全称量词命题（逻辑 + 导数概念综合）。

结论推广：$f(-x)$ 关于 $y$ 轴翻转、$-f(x)$ 关于 $x$ 轴翻转；极大 ↔ 极小当且仅当函数值取反。

方法推广：逐项用变换法则判断 → 举具体函数反例验证可疑选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-11 单-三次函数性质
• 2014-江西卷文-10 单-函数图象