2007-辽宁卷理-17 解-正弦函数单调增区间

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质。第一问利用和差化积公式和降幂公式将复杂的函数解析式化简为标准正弦型函数，进而求解值域；第二问通过定长区间 $(a,a+\pi ]$ 内图象与特定水平直线的交点个数特征锁定角速度 $\omega$，并求解全域的单调递增区间。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)+\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)-2{\cos }^2\frac{\omega x}{2},x\in \mathbf{R}$ （其中 $\omega >0$）.

(1) 求函数 $f(x)$ 的值域；

(2) 若对任意的 $a\in \mathbf{R}$，函数 $y=f(x),x\in (a,a+\pi ]$ 的图象与直线 $y=-1$ 有且仅有两个不同的交点，试确定 $\omega$ 的值（不必证明），并求函数 $y=f(x),x\in \mathbf{R}$ 的单调增区间.

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✍【详细解析】

Abstract

• 运用和差化积公式（或两角和差展开）化简前两项： $\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)+\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)=2\sin \omega x\cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\sin \omega x$。
• 运用余弦倍角降幂公式化简第三项： $-2{\cos }^2\frac{\omega x}{2}=-(1+\cos \omega x)=-\cos \omega x-1$。
• 联立后利用辅助角公式统一： $f(x)=\sqrt{3}\sin \omega x-\cos \omega x-1=2\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)-1$。

2. 第一问：根据正弦函数的无界定义域特征，全域下 $\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)\in [-1,1]$，直接平移放缩求出值域。
3. 第二问（图象与单调区间）：

• 水平直线 $y=-1$ 对应 $2\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)-1=-1⟹\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)=0$。即直线 $y=-1$ 恰好穿过该正弦曲线的所有对称中心（平衡位置点）。

• 在一个完整的周期 $T$ 内，正弦曲线与平衡位置有 2 个交点（左开右闭区间 $(a,a+T]$ 刚好包含 2 个零点）。

• 题意“对任意的 $a\in \mathbf{R}$，长度为 $\pi$ 的左开右闭区间内有且仅有 2 个交点”，意味着区间的长度 $\pi$ 必须严格等于该函数的完整周期 $T$。以此锁定 $\omega =2$。

• 代入 $\omega =2$，按照整体代入法求解正弦函数的递增区间。

✍ 〖详细解析〗

解：（1）首先利用三角恒等变换公式对函数 $f(x)$ 的解析式进行化简。 利用两角和差的正弦公式展开前两项（或利用和差化积公式）： $\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)+\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)=2\sin \omega x\cos \frac{\pi }{6}=2\sin \omega x\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\sin \omega x$ 利用余弦函数的二倍角降幂公式 $-2{\cos }^2\frac{\theta }{2}=-(1+\cos \theta )$ 化简第三项： $-2{\cos }^2\frac{\omega x}{2}=-(1+\cos \omega x)=-\cos \omega x-1$ 将上述两部分合并代回原函数： $f(x)=\sqrt{3}\sin \omega x-\cos \omega x-1$ 运用辅助角公式 $\sqrt{A^2+B^2}\sin (\theta +\varphi )$ 提取系数 2： $f(x)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \omega x-\frac{1}{2}\cos \omega x\right)-1=2\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)-1$

因为 $x\in \mathbf{R}$ 且 $\omega >0$，所以正弦因式的值域范围为： $-1\le \sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)\le 1$ 各部分同时乘以 2 再减去 1： $-2-1\le 2\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)-1\le 2-1⟹-3\le f(x)\le 1$ 所以， 函数 $f(x)$ 的值域为 $[-3,1]$。

（2）令 $f(x)=-1$，即： $2\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)-1=-1⟹\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)=0$ 此时直线 $y=-1$ 与函数 $y=f(x)$ 图象的交点， 恰好是该正弦曲线的所有平衡位置零点（对称中心）。 在一个完整的周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 内， 任意左开右闭区间 $(a,a+T]$ 均包含且仅包含 2 个平衡零点。 题目要求：对任意实数 $a$， 长度为 $\pi$ 的区间 $(a,a+\pi ]$ 内有且仅有两个交点。 根据正弦曲线的周期几何特征， 该定长区间的长度必须与该函数的最小正周期严格相等： $T=\pi ⟹\frac{2\pi }{\omega }=\pi ⟹\omega =2$

将 $\omega =2$ 代回函数解析式中， 得到标准正弦型函数： $f(x)=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)-1$ 要求函数的单调递增区间， 运用整体代入法， 令整体角处于正弦函数的标准单调增区间 $\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$ 内： $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x-\frac{\pi }{6}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 不等式各项同时加上 $\frac{\pi }{6}$： $-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+2k\pi \le 2x\le \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+2k\pi$ $-\frac{\pi }{3}+2k\pi \le 2x\le \frac{2\pi }{3}+2k\pi$ 各项同时除以 2， 隔离出自变量 $x$： $-\frac{\pi }{6}+k\pi \le x\le \frac{\pi }{3}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$

所以， 函数 $y=f(x)$ 的单调增区间为 $\left[-\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{\pi }{3}+k\pi \right](k\in \mathbf{Z})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和差公式与降幂公式的复合恒等变形、正弦曲线平衡零点在定长区间内的分布特征与周期的充要判定、整体代入法解单调性区间。
2. 避坑指南：

• 第二问中由“任意 $a$，区间 $(a,a+\pi ]$ 内必有且仅有 2 个零点”推导周期时，必须严密识别出 $y=-1$ 恰为平衡位置。正弦函数只有在与平衡位置相交时， 一个周期内的交点个数才会在左开右闭区间内恒定等于 2。明确了“区间长=周期长”， 即可直接判定 $\omega =2$。
• 写单调增区间答案时， 最后的 $k\in \mathbf{Z}$ 必须书写规范， 否则在大题中会被扣除 1 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查三角函数的恒等变换（和差化积、降幂公式）、三角函数的值域与周期性，是辽宁卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（恒等变形公式法、周期模型卡位法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：三角函数的恒等变换（和差化积、降幂公式）、三角函数的值域与周期性相互关联，解答中综合运用了恒等变形公式法、周期模型卡位法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 2008-北京卷文-15 解-三角降幂与值域