2013-浙江卷理-20 解-线面平行

本题导读

本题考查直线与平面。核心在于几何构造法、几何计算法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 20. 如图，在四面体 $A-BCD$ 中，$AD\perp$ 平面 $BCD$，$BC\perp CD$，$AD=2$，$BD=2\sqrt{2}$.$M$ 是 $AD$ 的中点，$P$ 是 $BM$ 的中点，点 $Q$ 在线段 $AC$ 上，且 $AQ=3QC$.

(1)证明：$PQ\parallel$ 平面 $BCD$；

(2)若二面角 $C-BM-D$ 的大小为 $60^{\circ }$，求 $\angle BDC$ 的大小.

🔍【思路分析】

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• 第一问：要证明线面平行，通常在平面内找一条直线与已知直线平行。利用 $P,M,Q$ 的比例关系，可以在面 $ACD$ 和面 $ABD$ 内分别寻找与 $AD$ 相关的比例段，构造平行四边形。
• 第二问：二面角 $C-BM-D$ 的平面角寻找是关键。由于 $AD\perp$ 平面 $BCD$，可以考虑建立空间直角坐标系，或使用几何法。几何法中，过 $C$ 作 $BM$ 的垂线（或通过三垂线定理构造），找到平面角 $\angle CHG=60^{\circ }$。随后在底面直角三角形 $BCD$ 中利用三角函数表示线段长，建立等式求解。

✅【答案】

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8. 所以 $\theta =60^{\circ }$。即 $\angle BDC=60^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明： 取 $BD$ 的中点 $O$，在线段 $CD$ 上取点 $F$，使得 $DF=3CF$。连接 $OP,OF,FQ$。

1. 在 $△ACD$ 中，因为 $AQ=3QC$，$DF=3CF$，根据平行线分线段成比例定理得：$QF\parallel AD$，且 $QF=\frac{1}{1+3}AD=\frac{1}{4}AD$。
2. 在 $△BDM$ 中，$O,P$ 分别为 $BD,BM$ 的中点，所以 $OP\parallel DM$ 且 $OP=\frac{1}{2}DM$。
3. 又 $M$ 是 $AD$ 的中点，则 $DM=\frac{1}{2}AD$。所以 $OP\parallel AD$ 且 $OP=\frac{1}{4}AD$。
4. 由此得 $OP\parallel QF$ 且 $OP=QF$，所以四边形 $OPFQ$ 是平行四边形。
5. 从而 $PQ\parallel OF$。
6. 因为 $PQ\not\subset$ 平面 $BCD$，$OF\subset$ 平面 $BCD$，所以 $PQ\parallel$ 平面 $BCD$。

（Ⅱ）解： 过点 $C$ 作 $CG\perp BD$，垂足为 $G$。

1. 因为 $AD\perp$ 平面 $BCD$，$CG\subset$ 平面 $BCD$，所以 $AD\perp CG$。
2. 又 $CG\perp BD$，$AD\cap BD=D$，所以 $CG\perp$ 平面 $ABD$。
3. 过 $G$ 作 $GH\perp BM$ 于 $H$，连接 $CH$。由三垂线定理知 $CH\perp BM$。
4. 所以 $\angle CHG$ 是二面角 $C-BM-D$ 的平面角，即 $\angle CHG=60^{\circ }$。
5. 设 $\angle BDC=\theta$。在 $Rt△BCD$ 中： $CD=BD\cos \theta =2\sqrt{2}\cos \theta$ $CG=CD\sin \theta =2\sqrt{2}\sin \theta \cos \theta$ $BC=BD\sin \theta =2\sqrt{2}\sin \theta$ $BG=BC\sin \theta =2\sqrt{2}{\sin }^2\theta$
6. 在 $Rt△BMD$ 中，$MD=\frac{1}{2}AD=1,BD=2\sqrt{2}$，则 $BM=\sqrt{1^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=3$。 由等面积法/相似三角形得：$GH=\frac{BG\cdot MD}{BM}=\frac{2\sqrt{2}{\sin }^2\theta \cdot 1}{3}$。
7. 在 $Rt△CHG$ 中，$\tan 60^{\circ }=\frac{CG}{GH}$： $\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{2}\sin \theta \cos \theta }{\frac{2\sqrt{2}{\sin }^2\theta }{3}}=\frac{3\cos \theta }{\sin \theta }=3\cot \theta$ $\tan \theta =\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
8. 所以 $\theta =60^{\circ }$。即 $\angle BDC=60^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的判定定理；二面角的平面角定义及其求法。

核心方法：第一问采用了**“中位线+比例构造”；第二问采用了“垂面法”**构造二面角，这种方法比直接建系在某些特定角度下更具技巧性。

避坑指南：在求 $GH$ 时，注意 $G$ 点不一定是中点，必须通过 $△BGH\sim △BMD$ 的相似比或投影关系来计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间向量的坐标运算、点到平面的距离公式。

结论推广：空间中线线平行是证明线面平行的必经之路，而面面垂直是寻找二面角平面角的捷径。

方法推广：对于第二问，若建立空间直角坐标系，以 $D$ 为原点，$DB$ 为 $y$ 轴，$DA$ 为 $z$ 轴，则需设 $C$ 坐标，利用法向量夹角公式求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直
• 2014-新课标II卷文-18 解-线面平行与距离
• 2014-四川卷文-18 解-线面垂直与平行