2007-重庆卷理-07 单-绝对值代数式化简

本题导读

本题考查等比中项的性质与代数式最值的求解。核心在于首先通过等比中项关系将参数 $a^2$ 用 $b$ 的式子代换，然后将目标绝对值分式通过代数技巧转化为可以使用基本不等式进行放缩的结构，进而求得最大值。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 若 $a$ 是 $1+2b$ 与 $1-2b$ 的等比中项，则 $\frac{2ab}{|a|+2|b|}$ 的最大值为()

A. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{4}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 利用等比中项建立恒等关系：由等比中项性质， $a^2=(1+2b)(1-2b)=1-4b^2⟹a^2+4b^2=1$。由于平方和恒正，隐含约束 $1-4b^2>0⟹|b|<\frac{1}{2}$。
2. 分析目标式的绝对值规律：

• 目标式为 $\frac{2ab}{|a|+2|b|}$。为了讨论最值且规避正负号干扰，当 $ab>0$ 时式子才可能取得最大值。此时 $2ab=2|a||b|$。
• 目标式转化为 $\frac{2|a||b|}{|a|+2|b|}$。

3. 结合约束条件进行放缩：

• 我们已知核心圆/椭圆轨道约束： $|a{|}^2+4|b{|}^2=1$。

• 设 $x=|a|,y=2|b|$。则已知条件化为 $x^2+y^2=1$， 目标式化为 $\frac{xy}{x+y}$。

• 利用基本不等式将分子 $xy$ 或分母 $x+y$ 进行齐次平方放缩， 求出常数上限。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $a$ 是 $1+2b$ 与 $1-2b$ 的等比中项， 根据等比中项的性质定理， 满足： $a^2=(1+2b)(1-2b)=1-4b^2$ 移项变形， 得到关于 $a$ 和 $b$ 的刚性平方和约束方程： $a^2+4b^2=1\text{(1)}$

下面分析需要求解最大值的目标分式 $I=\frac{2ab}{|a|+2|b|}$： 为了让分式取得最大正数， 分子 $2ab$ 必须为正数， 故此时等价于 $2ab=2|a||b|$。 目标分式无损转化为全绝对值形态： $I=\frac{2|a||b|}{|a|+2|b|}$

为了使代数结构极简化， 采用换元法。 设 $x=|a|\ge 0,y=2|b|\ge 0$。 将新变量代入已知约束①式中， 转化为标准的单位圆特征： $x^2+y^2=1\text{(2)}$ 同时， 目标分式 $I$ 完美简化为： $I=\frac{x\cdot \frac{y}{2}}{x+y}=\frac{xy}{2(x+y)}$

根据基本不等式（均值不等式）的平方和变形： $(x+y{)}^2\le 2(x^2+y^2)$。 将②式 $x^2+y^2=1$ 代入其中： $(x+y{)}^2\le 2\times 1=2⟹x+y\le \sqrt{2}\text{(3)}$ 当且仅当 $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时等号成立。

同理， 根据基本不等式， 满足 $2xy\le x^2+y^2=1⟹xy\le \frac{1}{2}$。但这属于独立放缩，两端无法同时触发等号。 我们直接对目标式 $I=\frac{xy}{2(x+y)}$ 进行齐次变形： 因为 $x^2+y^2=1$， 恒有： $xy=\frac{(x+y{)}^2-(x^2+y^2)}{2}=\frac{(x+y{)}^2-1}{2}$ 将此代回目标式 $I$ 中， 将其转化为纯粹关于复合元 $(x+y)$ 的单变量函数： $I=\frac{\frac{(x+y{)}^2-1}{2}}{2(x+y)}=\frac{(x+y{)}^2-1}{4(x+y)}=\frac{1}{4}\left[(x+y)-\frac{1}{x+y}\right]$

令新自变量 $t=x+y$。由③式可知， 变量 $t$ 的合法取值范围为 $(0,\sqrt{2}]$。 分析函数 $g(t)=t-\frac{1}{t}$ 的单调性： 根据对勾函数的性质， 当 $t>0$ 时， 函数 $g(t)=t-\frac{1}{t}$ 是一个严格的单调递增函数。 因此， 当自变量 $t$ 取得其右闭边界的最大值 $t_{\text{max}}=\sqrt{2}$ 时， 整个目标分式 $I$ 顺理成章取得其全局最大值： $I_{\text{最大值}}=\frac{1}{4}\left(\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{2-1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}$ (注：对应原变量位置为 $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即 $|a|=\frac{\sqrt{2}}{2},|b|=\frac{\sqrt{2}}{4}$，完全符合等号成立大前提。)

等一下，核校当年原题选项： 重新核算： $I=\frac{2ab}{|a|+2|b|}$， 代入 $x=|a|=\frac{\sqrt{2}}{2},y=2|b|=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹|b|=\frac{\sqrt{2}}{4}$。 $I=\frac{2\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}+2\times \frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{\frac{2}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ 啊！前面的代数提取有误： 目标式为 $I=\frac{2ab}{|a|+2|b|}=\frac{2\times x\times \frac{y}{2}}{x+y}=\frac{xy}{x+y}$。 我前面不小心多除了一个 2。 修正后： $I=\frac{xy}{x+y}=\frac{(x+y{)}^2-1}{2(x+y)}=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)$ 代入 $t=\sqrt{2}$ 得到： $I_{\text{最大值}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比中项隐性引发的二次二次曲线轨道约束、绝对值代数式的换元简化、对勾函数单调性求解超越最值。
2. 核心方法：多元变量换元法（令 $x=|a|,y=2|b|$）、单变量化切代换法。
3. 避坑指南：

• 换元是解决本题的唯一捷径。如果不换元，强行把 $a=\sqrt{1-4b^2}$ 带入目标分式，会制造出极其恐怖的超越无理分式，导致求导崩溃。设 $x=|a|,y=2|b|$ 后，问题直接降维成了高一最基础的圆上最值题。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比中项的性质、基本不等式（均值不等式）及其变形是重庆卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是等比中项的性质、基本不等式（均值不等式）及其变形的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用变量代换消元法、分式齐次化切法（或基本不等式直接放缩），注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷理-06 单-指数
• 2008-安徽卷文-09 单-对勾函数最值
• 2008-浙江卷文-05 单-均值不等式判断