2008-安徽卷文-09 单-对勾函数最值

本题导读

本题考查对勾函数 $f(x)=2x+\frac{1}{x}-1$ 在 $x<0$ 上的性质：负半支有最大值，用均值不等式或导数判断。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 设函数 $f(x)=2x+\frac{1}{x}-1$（$x<0$），则 $f(x)$()

A. 有最大值　　　B. 有最小值　　　C. 是增函数　　　D. 是减函数

🔍【思路分析】

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1. $x<0$ 时 $2x<0$，$\frac{1}{x}<0$，两项同为负，对勾函数负半支先增后减，有最大值。
2. 用均值不等式：$-f(x)=(-2x)+\left(-\frac{1}{x}\right)-1⩾2\sqrt{2}-1$，即 $f(x)⩽1-2\sqrt{2}$，等号可取。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

当 $x<0$ 时，$-2x>0$，$-\frac{1}{x}>0$，由均值不等式 $-f(x)=(-2x)+\left(-\frac{1}{x}\right)-1⩾2\sqrt{(-2x)\cdot \left(-\frac{1}{x}\right)}-1=2\sqrt{2}-1$， 即 $f(x)⩽1-2\sqrt{2}$，当且仅当 $-2x=-\frac{1}{x}$，即 $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取等号。 所以 $f(x)$ 在 $x<0$ 上有最大值 $1-2\sqrt{2}$。 又 $f^{\prime }(x)=2-\frac{1}{x^2}$，$x<-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$-\frac{\sqrt{2}}{2}<x<0$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，先增后减，非单调。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对勾函数负半支的最值

核心方法：均值不等式或求导，先取等再判断单调

避坑指南：$x<0$ 时两项皆负，对勾开口朝下有最大值 $1-2\sqrt{2}$；取等点 $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 要代回验证在定义域内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 重庆文第 7 题、2010 四川文第 11 题同考基本不等式最值。

结论推广：对勾函数 $y=ax+\frac{b}{x}$ 的正负半支最值对称出现。

方法推广：负半支先整体变号再用均值不等式，取等点必须落在定义域内。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-07 单-基本不等式
• 2010-四川卷文-11 单-基本不等式最值
• 2009-湖南卷文-10 填-基本不等式最值
• 2009-福建卷文-08 单-偶函数单调性