2007-重庆卷理-08 单-数列极限求法

本题导读

本题考查多项式连续函数的极限运算与数列指数分式的极限求解。首先通过多项式极限直接代入，建立正数 $a,b$ 的线性方程，求得 $a,b$ 的大小比较；进而利用底数决定论，通过分子分母同除以最大底数来求解数列的无穷极限。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 设正数 $a,b$ 满足 ${\lim }_{x\to 2}(x^2+ax-b)=4$，则 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a^{n+1}+a{b}^{n-1}}{a^{n-1}+2b^n}=$()

A. 0　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出首个极限方程：多项式函数在全体实数域上连续， 故 ${\lim }_{x\to 2}(x^2+ax-b)$ 直接将 $x=2$ 代入： $2^2+2a-b=4⟹4+2a-b=4⟹b=2a$。
2. 比对底数的大小：已知 $a,b$ 均为正数且 $b=2a$， 显然可以得到底数大小关系： $b>a>0$。
3. 求解无穷指数分式极限：

• 目标极限式为包含 $a^n,b^n$ 的分式， 核心取决于底数较大的那一项。

• 既然 $b>a$， 分子分母同时除以最大底数项的最高次幂 $b^n$， 将含有 ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n$ 的项转化为 0 从而实现化简求值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：因为多项式函数 $y=x^2+ax-b$ 是在实数域 $\mathbf{R}$ 上连续不间断的， 其当 $x\to 2$ 时的极限值直接等于将 $x=2$ 带入后的函数值： ${\lim }_{x\to 2}(x^2+ax-b)=2^2+2a-b=4+2a-b$ 题目已知该极限值严格等于 4， 建立代数等式： $4+2a-b=4⟹b=2a$

由于题目给定大前提条件： $a,b$ 均为正数。 由 $b=2a$ 且 $a>0$， 刚性可以得出两个底数之间的相对大小关系： $b>a>0⟹0<\frac{a}{b}=\frac{1}{2}<1$

根据无穷递减等比数列的极限性质， 当公比的绝对值小于 1 时， 恒有： ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{a}{b}\right)}^n=0$

下面处理需要求解的数列极限式， 将 $b=2a$ 提取： $I={\lim }_{n\to \infty }\frac{a^{n+1}+a{b}^{n-1}}{a^{n-1}+2b^n}$ 为了消除因 $b>a$ 导致的 $\infty /\infty$ 未定式形态， 我们将分子和分母同时除以最大底数的高次项 $b^n$： $I={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{a^{n+1}}{b^n}+\frac{a{b}^{n-1}}{b^n}}{\frac{a^{n-1}}{b^n}+\frac{2b^n}{b^n}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{a\cdot {\left(\frac{a}{b}\right)}^n+\frac{a}{b}\cdot 1}{\frac{1}{a}\cdot {\left(\frac{a}{b}\right)}^n+2}$

将 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{a}{b}\right)}^n=0$ 和 $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$ 整体代入化简后的式子中： $I=\frac{a\times 0+\frac{1}{2}}{\frac{1}{a}\times 0+2}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：连续初等函数的极限代入、 $\infty /\infty$ 型指数分式极限同除最大底数法、等比无穷收敛判定。
2. 核心方法：分子分母最高次幂同除消元法。
3. 避坑指南：

• 求解指数分式的无穷极限时，切记是由底数绝对值最大的那一项决定最终走向。本题中千万不要习惯性去同除以 $a^n$， 如果同除以 $a^n$， 会制造出 ${\left(\frac{b}{a}\right)}^n\to \infty$ 的发散项， 导致无法直接看出答案。 必须除以最大的底数 $b^n$ 制造收敛项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数极限的求法、数列极限的求法（指数分式极限）是重庆卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是函数极限的求法、数列极限的求法（指数分式极限）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用代入消元法、分子分母同除以最大底数法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷理-06 单-二项式定理
• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 2014-上海卷理-08 填-等比数列的通项与求和