2014-上海卷理-08 填-等比数列的通项与求和

本题导读

本题考查无穷递缩等比数列求和公式的应用。通过建立首项与无穷和之间的等量关系，构造关于公比 q 的一元二次方程，并结合收敛条件进行舍解。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 设无穷等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，若 $a_1={\lim }_{n\to \infty }(a_3+a_4+\cdots +a_n)$，则 $q=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别无穷和：右侧极限式表示的是从第 3 项开始的无穷等比数列之和。
2. 应用求和公式：无穷递缩等比数列和公式为 $S=\frac{首项}{1-q}$，其中前提条件是 $|q|<1$。
3. 建立方程：将 $a_3$ 作为新数列的首项，代入公式得 $a_1=\frac{a_3}{1-q}$。
4. 化简求解：利用 $a_3=a_1{q}^2$ 将方程转化为关于 $q$ 的二次方程，解方程并验证收敛条件。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列出无穷等比数列求和表达式 根据无穷递缩等比数列求和公式，若 $|q|<1$，则： ${\lim }_{n\to \infty }(a_3+a_4+\cdots +a_n)=\frac{a_3}{1-q}$ 由题意得方程： $a_1=\frac{a_3}{1-q}$

第二步：代入通项公式化简 将 $a_3=a_1{q}^2$ 代入上式（可知 $a_1\ne 0$，否则 $q$ 无意义）： $a_1=\frac{a_1{q}^2}{1-q}⟹1=\frac{q^2}{1-q}$ 整理得一元二次方程： $q^2+q-1=0$

第三步：解方程并舍解 利用求根公式得： $q=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4(1)(-1)}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ 由于无穷等比数列和存在的前提是 $|q|<1$：

• 当 $q=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx -1.618$ 时，$|q|>1$，舍去；
• 当 $q=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx 0.618$ 时，$|q|<1$，符合题意。

故答案为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：无穷递缩等比数列的求和公式及其收敛条件。

2. 核心方法：方程思想。数列问题中，利用基本量（$a_1,q$）表示所有项是万能手段。

3. 避坑指南：必须注意无穷等比数列求和的限制条件 $|q|<1$。本题解出的两个根中，负根绝对值大于 1，必须剔除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 黄金分割比（本题结果即为黄金分割数）、极限的运算法则。

2. 结论推广: 若 $a_1$ 等于从第 $k+1$ 项开始的无穷和，则有 $1=\frac{q^k}{1-q}$。

3. 方法推广: 方程思想。数列问题中，利用基本量（$a_1,q$）表示所有项是万能手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-15 解-数列通项求和
• 2013-辽宁卷理-14 填-等比数列通项
• 2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项