2007-重庆卷理-13 填-二次不变量恒成立问题

本题导读

本题考查复合函数的定义域恒成立问题。题目给出根式内部复合了指数函数与一元二次多项式，定义域为 $\mathbf{R}$ 意味着根号内部的算术分量对任意实数 $x$ 必须恒大于或等于 0。通过同底数化脱去底数，将其转化为标准的一元二次不等式恒成立模型求解。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 若函数 $f(x)=\sqrt{2^{2x^2+2ax-a}-1}$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，则 $a$ 的取值范围为________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依据根式性质列出大前提不等式：二次根式 $\sqrt{U}$ 在实数域上有意义， 必须满足被开方数 $U\ge 0$。 故有： $2^{2x^2+2ax-a}-1\ge 0⟹2^{2x^2+2ax-a}\ge 1$

2. 同底数化脱去指数底数：将右侧常数 1 转化为以 2 为底的幂： $1=2^0$。 由于底数 $2>1$， 指数函数单调递增， 直接脱去底数， 不等号方向保持不变， 转化为： $2x^2+2ax-a\ge 0$

3. 一元二次不等式全域恒成立的判别式控制：定义域为 $\mathbf{R}$ 意味着上述二次不等式对于任意 $x\in \mathbf{R}$ 必须恒成立。 二次项系数 $2>0$ 保证开口向上， 要使其恒大于等于 0， 对应的几何抛物线必须与 $x$ 轴至多只有一个交点， 故其判别式必须刚性限制为 $\Delta \le 0$。

✅【答案】

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$[-2,0]$ （或写成 $-2\le a\le 0$）

✍【详细解析】

Abstract

解：因为函数 $f(x)=\sqrt{2^{2x^2+2ax-a}-1}$ 的定义域为全体实数集 $\mathbf{R}$， 根据二次根式内部被开方数必须非负的数理数理大前提， 对于任意的 $x\in \mathbf{R}$， 恒满足以下不等式： $2^{2x^2+2ax-a}-1\ge 0⟹2^{2x^2+2ax-a}\ge 1$

将常数项 1 进行同底数化变形， 写为 $1=2^0$： $2^{2x^2+2ax-a}\ge 2^0$ 因为底数 $2>1$， 指数函数 $y=2^t$ 严格单调递增， 我们可以直接脱去底数且不需要改变不等号的方向： $2x^2+2ax-a\ge 0\text{对任意 }x\in \mathbf{R}\text{ 恒成立}$

这是一个开口向上的二次抛物线全域恒大于或等于 0 的经典恒成立模型。 由二次项系数 $2>0$ 已经满足了开口向上的必要条件， 要想让该抛物线的图象始终保持在 $x$ 轴的上方（或与之刚好切于一点）， 其特征判别式 $\Delta$ 必须严格控制在非正范围内： $\Delta =B^2-4AC\le 0$

将对应的系数 $A=2,B=2a,C=-a$ 代入判别式公式中： $\Delta =(2a{)}^2-4\times 2\times (-a)\le 0$ 展开并化简： $4a^2+8a\le 0$ 两边同除以 4： $a^2+2a\le 0$ 因式分解： $a(a+2)\le 0$ 根据“大于取两边，小于取中间”的一元二次不等式口诀， 解得参数 $a$ 的取值范围为： $-2\le a\le 0$

所以， 实数 $a$ 的取值范围是 $[-2,0]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：根式定义域边界、底数大于1的指数不等式同底化、二次不等式恒成立转化为判别式 $\Delta \le 0$ 的经典映射。
2. 核心方法：判别式控制法。
3. 避坑指南：

• 等号是否能取到是本题最容易粗心大意导致扣分的陷阱。原题是带根号的，根号内部可以等于 0， 故最开始的不等式带有等号（ $\ge 0$）， 对应的抛物线可以与 $x$ 轴相切， 故判别式必须写成 $\Delta \le 0$， 绝对不能漏掉等于 0 的形态。 如果答案错写成 $(-2,0)$ 将会一分不得。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的定义域大前提、指数不等式的求解是重庆卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是函数的定义域大前提、指数不等式的求解的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用恒等变形转化法、判别式法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域
• 2008-安徽卷理-13 填-绝对值不等式
• 2008-江苏卷-14 填-三次函数恒成立