2008-江苏卷-14 填-三次函数恒成立

本题导读

本题是恒成立定参：在 $x>0$ 与 $x<0$ 两段分别分离参数 $a$，取交集得 $a⩾4$ 且 $a⩽4$。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 设函数 $f(x)=a{x}^3-3x+1$（$x\in \mathbf{R}$），若对于任意 $x\in [-1,1]$，都有 $f(x)⩾0$ 成立，则实数 $a$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 对 $x>0$：$a⩾\frac{3x-1}{x^3}$，需求右侧函数在 $(0,1]$ 的最大值。
2. 对 $x<0$：除以负数变号，$a⩽\frac{3x-1}{x^3}$，需求右侧函数在 $[-1,0)$ 的最小值。
3. 两侧夹逼得 $a$ 的唯一值。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

记 $g(x)=\frac{3x-1}{x^3}=\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x^3}$，则 $g^{\prime }(x)=-\frac{6}{x^3}+\frac{3}{x^4}=\frac{3-6x}{x^4}$。 当 $0<x⩽1$ 时，由 $f(x)⩾0$ 得 $a⩾g(x)$。$g$ 在 $x=\frac{1}{2}$ 处取最大值 $g\left(\frac{1}{2}\right)=12-8=4$，故 $a⩾4$。 当 $-1⩽x<0$ 时，由 $f(x)⩾0$ 且 $x^3<0$ 得 $a⩽g(x)$。此时 $g^{\prime }(x)>0$，$g$ 递增，最小值为 $g(-1)=3+1=4$，故 $a⩽4$。 又 $f(0)=1⩾0$ 恒成立。 综上 $a⩾4$ 且 $a⩽4$，所以 $a=4$。 检验：$a=4$ 时 $f(x)=4x^3-3x+1$，$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+1=0$，且 $f(x)⩾0$ 在 $[-1,1]$ 上成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数在闭区间上的恒成立

核心方法：分正负区间分离参数，两侧夹逼

避坑指南：$x<0$ 时除以 $x^3$ 不等号反向；两段分别给出 $a⩾4$ 与 $a⩽4$，交集是单点而非空集。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 新课标Ⅰ文第 21 题、2010 北京文第 18 题同为三次函数恒成立。

结论推广：闭区间恒成立分离参数后，转化为导数求最值。

方法推广：参数两侧夹逼得等式是本题亮点，分区间讨论要彻底。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-08 单-三次函数图象
• 2009-重庆卷文-10 单-三次函数平移交点
• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2010-北京卷文-18 解-三次函数无极值点