2007-重庆卷理-17 解-诱导公式特殊角三角函数值

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换。第一问运用降幂公式与辅助角公式将复合三角函数化为单一名弦函数，进而求得最值和周期；第二问根据自变量范围锁定特定角的值，从而计算出目标正切值。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 设 $f(x)=6{\cos }^{2}x-\sqrt{3}\sin 2x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最大值及最小正周期；

(2) 若锐角 $\alpha$ 满足 $f(\alpha )=3-2\sqrt{3}$，求 $\tan \frac{4}{5}\alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：运用降幂公式 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ 展开原式，再通过辅助角公式归拢为 $A\cos (\omega x+\phi )+B$ 的标准型，直接提取最值与周期。

2. 第二问：将 $f(\alpha )=3-2\sqrt{3}$ 代入第一问简化后的式子，解得复合角的余弦值。结合 $\alpha$ 为锐角的已知范围确定复合角的唯一取值，从而反解出 $\alpha$，代入求得目标正切值。

✅【答案】

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（1）利用cos2𝑥=1+cos2𝑥2，得𝑓(𝑥)=3+3cos2𝑥−√3sin2𝑥=3+2√3cos(2𝑥+π

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）利用三角恒等变换公式对函数解析式进行化简： $f(x)=6\times \frac{1+\cos 2x}{2}-\sqrt{3}\sin 2x$ $f(x)=3+3\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x$ 提取辅助角系数 $2\sqrt{3}$： $f(x)=3+2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x\right)$ 套用两角和的余弦公式，化简得： $f(x)=3+2\sqrt{3}\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$

因为对任意实数 $x$，恒有 $-1\le \cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\le 1$， 所以当 $\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=1$ 时，函数取得最大值： $f(x{)}_{\text{max}}=3+2\sqrt{3}$ 其最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$

（2）由（1）可知 $f(\alpha )=3+2\sqrt{3}\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$。 代入已知条件 $f(\alpha )=3-2\sqrt{3}$ 中，建立方程： $3+2\sqrt{3}\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=3-2\sqrt{3}$ $2\sqrt{3}\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=-2\sqrt{3}⟹\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=-1$

因为 $\alpha$ 是锐角，满足： $0<\alpha <\frac{\pi }{2}⟹0<2\alpha <\pi$ 不等式各项同时加上 $\frac{\pi }{6}$，确定复合角的取值范围： $\frac{\pi }{6}<2\alpha +\frac{\pi }{6}<\frac{7\pi }{6}$ 在此区间范围内，使得余弦值为 $-1$ 的角度有且仅有一处： $2\alpha +\frac{\pi }{6}=\pi ⟹2\alpha =\frac{5\pi }{6}⟹\alpha =\frac{5\pi }{12}$

将求得的 $\alpha$ 代入目标正切代数式中计算： $\tan \frac{4}{5}\alpha =\tan \left(\frac{4}{5}\times \frac{5\pi }{12}\right)=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$

所以，$\tan \frac{4}{5}\alpha$ 的值等于 $\sqrt{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：降幂公式与辅助角公式的混合化简、根据单弦波形参数直接提取周期（ $T=\frac{2\pi }{\omega }$）、由自变量开区间约束精准定位三角方程多值解。
2. 核心方法：三角函数综合化简法。
3. 避坑指南：

• 第二问在解三角方程时，务必先通过原自变量范围卡死复合角 $2\alpha +\frac{\pi }{6}$ 的精确范围。由于余弦函数具有周期性，不划定边界极易出现多解或错解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自高中数学必修四三角恒等变换与三角函数性质的常考融合大题，是解答题的第一道送分底座题。

2. 结论推广：对于任何形如 $f(x)=A{\cos }^{2}x+B\sin 2x$ 类型的函数，均可通过降幂转化为 $f(x)=\frac{A}{2}+\sqrt{\frac{A^2}{4}+B^2}\cos (2x+\phi )$ 的单弦结构统一求出所有几何性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式