2015-重庆卷文-18 解-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角恒等变换（降幂公式与辅助角公式）、三角函数的周期性、最值以及图象伸缩变换后在闭区间上的值域问题。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期和最小值；

(2) 将函数 $f(x)$ 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 $g(x)$ 的图象，当 $x\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 时，求 $g(x)$ 的值域.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用降幂公式 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ 将 $f(x)$ 化为 $A\sin (2x+\phi )+B$ 的形式，利用周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 和正弦函数的最值求解。
2. 第二问：根据图象变换规律（横坐标变为原来的 2 倍即 $\omega$ 减半，以 $\frac{x}{2}$ 替换 $x$），写出 $g(x)$ 的解析式。由 $x\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 确定整体角 $x-\frac{\pi }{3}$ 的范围，进而求出 $g(x)$ 的值域。

✅【答案】

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即 $g(x)$ 的值域为 $\left[\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{2-\sqrt{3}}{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 对 $f(x)$ 进行三角恒等变换： $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x-\sqrt{3}\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 利用辅助角公式化简： $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$

所以 $f(x)$ 的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ 当 $2x-\frac{\pi }{3}=2k\pi -\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$) 时，$\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 取得最小值 $-1$， 因此 $f(x)$ 的最小值为： $f(x{)}_{\min }=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) 将 $f(x)$ 图象上每一点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得函数 $g(x)$ 的解析式为： $g(x)=f\left(\frac{x}{2}\right)=\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$

因为 $x\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$，所以： $x-\frac{\pi }{3}\in \left[\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3},\pi -\frac{\pi }{3}\right]=\left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]$

在区间 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]$ 上：

• 当 $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$（即 $x=\frac{5\pi }{6}$）时，$\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 取得最大值 $1$；
• 当 $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$（即 $x=\frac{\pi }{2}$）时，$\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 取得最小值 $\frac{1}{2}$。

故 $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\in \left[\frac{1}{2},1\right]$。 计算 $g(x)$ 的取值范围： $g(x)\in \left[\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2},1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$

即 $g(x)$ 的值域为 $\left[\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{2-\sqrt{3}}{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的降幂公式、辅助角公式、周期与最值，以及函数图象伸缩变换。
2. 核心方法：化归法（将复杂三角函数化简为 $y=A\sin (\omega x+\phi )+k$ 标准型）与整体代换法。
3. 避坑指南：
   • 降幂公式 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ 中的常数项 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 切勿遗漏。
   • 图象“横坐标伸长到原来的 $k$ 倍”对应将解析式中的 $x$ 替换为 $\frac{x}{k}$（即 $\omega$ 变为原来的 $\frac{1}{k}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自必修四三角函数与三角恒等变换章节的经典解答题，注重考查基本公式变形与整体换元能力。
2. 结论推广：对 $f(x)=a\sin \omega x+b\cos \omega x+c$ 类型，先用 $\sqrt{a^2+b^2}\sin (\omega x+\phi )+c$ 化简，若横坐标伸长到原来的 $k$ 倍，则新函数解析式为 $\sqrt{a^2+b^2}\sin \left(\frac{\omega }{k}x+\phi \right)+c$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2007-重庆卷理-17 解-诱导公式特殊角三角函数值
• 2014-重庆卷理-10 单-和差公式与二倍角公式
• 2014-重庆卷理-17 解-三角函数的周期性