2007-陕西卷文-02 单-对数函数定义域

本题导读

本题考查对数函数定义域，以及函数的定义域。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 函数 $f(x)=\lg \sqrt{1-x^2}$ 的定义域为 ()

A. $[0,1]$　　　B. $(-1,1)$　　　C. $[-1,1]$　　　D. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对数真数必须为正，故 $\sqrt{1-x^2}>0$。
2. 又根号下非负，即 $1-x^2\ge 0$。
3. 合起来 $1-x^2>0$，解得 $-1<x<1$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

对数的真数必须为正，所以 $\sqrt{1-x^2}>0$． 又根式要有意义，需 $1-x^2\ge 0$；真数为正要求 $\sqrt{1-x^2}>0$，即 $1-x^2>0$． 综合得 $1-x^2>0$，解得 $-1<x<1$，定义域为 $(-1,1)$． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数定义域

核心方法：对数真数必须为正：$\sqrt{1-x^2}>0$，再叠根式 $1-x^2\ge 0$，合并为 $1-x^2>0$

避坑指南：真数为正与根式非负要同时满足，最终是开区间 $(-1,1)$；端点 $\pm 1$ 使真数 $=0$ 必须剔除，别写成闭区间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于对数函数的定义域限制，$y=\lg x$ 要求 $x>0$，与根式复合后需联合讨论

结论推广：一般化：$y={\log }_{a}g(x)$ 的定义域由 $g(x)>0$ 确定；$y=\sqrt{g(x)}$ 由 $g(x)\ge 0$；复合后取交集

方法推广：求复合函数定义域逐层列不等式，最后求交集；注意对数真数、根式、分母三类限制

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2013-陕西卷文-03 单-对数换底恒等
• 2015-陕西卷文-10 单-对数比较
• 2010-陕西卷文-07 单-指数运算性质