2015-陕西卷文-10 单-对数比较

本题导读

$p=\ln \sqrt{ab}=\frac{1}{2}(\ln a+\ln b)=r$；$\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}$ 且 $\ln$ 增 $\Rightarrow q>p$，故 $p=r<q$，选 C。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） 设 $f(x)=\ln x$，$0<a<b$. 若 $p=f\left(\sqrt{ab}\right)$，$q=f\left(\frac{a+b}{2}\right)$，$r=\frac{1}{2}\left(f(a)+f(b)\right)$，则下列关系式中正确的是 ()

A. $q=r<p$　　　　　B. $q=r>p$　　　　　C. $p=r<q$　　　　　D. $p=r>q$

🔍【思路分析】

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$p=\ln \sqrt{ab}=\frac{1}{2}(\ln a+\ln b)=r$；$\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}$ 且 $\ln$ 增 $\Rightarrow q>p$，故 $p=r<q$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由对数运算：$p=\ln \sqrt{ab}=\frac{1}{2}\ln (ab)=\frac{1}{2}(\ln a+\ln b)=r$，即 $p=r$。

由 $0<a<b$，基本不等式给出 $\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}$（$a\ne b$ 时严格不等）。又 $\ln x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，故

$q=\ln \frac{a+b}{2}>\ln \sqrt{ab}=p$，即 $q>p$。

综上 $p=r<q$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数的运算性质；基本不等式；对数函数的单调性

核心方法：“算术平均 > 几何平均”搭桥，对数单调性保序

避坑指南：①$r=\frac{1}{2}(f(a)+f(b))$ 要先用对数性质合并成 $\ln \sqrt{ab}$ 才能与 $p$ 认亲；②$a<b$ 保证 $\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}$ 严格成立，不等号方向由 $\ln$ 的递增性传递。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“三个平均数套对数”的比较题（doc 考点定位：函数单调性的应用），是均值不等式与对数函数的标准联姻。

结论推广：一般地，$0<a<b$ 时有 $\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<\frac{a^2+b^2}{a+b}$（几何 < 算术 < 调和的倒数关系），单调函数可把整条不等式链原样传递。

方法推广：函数值比较大小：先把各函数值化成”同一函数在不同点处的值”，再用单调性 + 中间量（此处 $\sqrt{ab}$）比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 03.02 均值不等式

类题演练(Links)

• 2015-陕西卷理-9
• 2014-陕西卷理-16 解-正余弦定理
• 2013年陕西卷理-21