2007-陕西卷文-05 单-等差数列基本量求和

本题导读

本题考查等差数列的前n项和，以及等差数列基本量。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_2=2$，$S_4=10$，则 $S_6$ 等于 ()

A. $12$　　　　　　　B. $18$　　　　　　　C. $24$　　　　　　　D. $42$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设首项 $a_1$、公差 $d$，$S_2=2a_1+d=2$，$S_4=4a_1+6d=10$。
2. 解方程组得 $d=\frac{3}{2}$，$a_1=\frac{1}{4}$。
3. $S_6=6a_1+15d=\frac{3}{2}+\frac{45}{2}=24$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列首项为 $a_1$，公差为 $d$．由前 $n$ 项和公式， $S_2=2a_1+d=2$，$S_4=4a_1+6d=10$． 两式相减（第二式减第一式的两倍）得 $4d=6$，故 $d=\frac{3}{2}$，再代入得 $a_1=\frac{1}{4}$． 于是 $S_6=6a_1+15d=6\times \frac{1}{4}+15\times \frac{3}{2}=\frac{3}{2}+\frac{45}{2}=24$． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本量求和

核心方法：列 $S_2=2a_1+d$，$S_4=4a_1+6d$ 解出 $d,a_1$，再套 $S_6=6a_1+15d$

避坑指南：$S_4=10$ 不是 $S_4=4a_1+4d$，系数是 $\frac{4\times 3}{2}=6$；解出 $d=\frac{3}{2}$ 不是整数，别心算错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于等差数列前 $n$ 项和公式与基本量的求解，教材”等差数列”典型题

结论推广：一般化：已知 $S_m,S_n$ 求 $S_k$，先解出 $a_1,d$ 再代入；$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 是二次式

方法推广：列方程组解基本量是等差等比通法；也可用 $S_4-S_2$ 与 $S_6-S_4$ 成等差数列的性质速算

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练(Links)

• 2008-陕西卷文-04 单-等差数列基本量
• 2009-陕西卷文-13 填-等差数列通项
• 2015-陕西卷文-13 填-等差中位