2008-陕西卷文-04 单-等差数列基本量

本题导读

$2 a_{1} + d = 4$ ， $2 a_{1} + 13 d = 28$ ，解得 $a_{1} = 1$ ， $d = 2$ ； $S_{10} = 10 a_{1} + 45 d = 10 + 90 = 100$ .

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)）已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} + a_{2} = 4$ ， $a_{7} + a_{8} = 28$ ，则该数列前 $10$ 项和 $S_{10}$ 等于()

A. $64$ 　　　　　　B. $100$ 　　　　　　C. $110$ 　　　　　　D. $120$

🔍【思路分析】

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两项之和直接对接基本量： $a_{1} + a_{2} = 2 a_{1} + d$ 、 $a_{7} + a_{8} = 2 a_{1} + 13 d$ ；相减消去 $a_{1}$ 定 $d$ ，回代定 $a_{1}$ .

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列通项， $a_{1} + a_{2} = 2 a_{1} + d = 4$ ， $a_{7} + a_{8} = 2 a_{1} + 13 d = 28$ ．两式相减得 $12 d = 24$ ，即 $d = 2$ ，回代得 $a_{1} = 1$ ．于是 $S_{10} = 10 a_{1} + \frac{10 \times 9}{2} d = 10 + 90 = 100$ ．故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本量运算与前 n 项和

核心方法：设 $a_{1}$ 、 $d$ 为基本量，把 $a_{m} + a_{n} = 2 a_{1} + (m + n - 2) d$ 当整体用，两条件相减一次消元

避坑指南： $a_{7} + a_{8} = 2 a_{1} + 13 d$ 的下标和是 $7 + 8 = 15$ ，对应 $2 a_{1} + (15 - 2) d$ ，别错写成 $12 d$ ；解出后可用 $a_{1} + a_{2} = 4$ 回验

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材等差数列通项公式与前 $n$ 项和公式的基本量法

结论推广： $a_{m} + a_{n} = 2 a_{1} + (m + n - 2) d$ ； $S_{n} = n a_{1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} d = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$

方法推广：凡”两项之和”条件统一化为 $2 a_{1} + (下标和 - 2) d$ 再运算；多个”和条件”优先相减消元

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类题演练 (Links)

2008-陕西卷理-04

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