2007-陕西卷文-08 单-反函数对数图象识别

本题导读

本题考查反函数，以及对数函数图象。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 设函数 $f(x)=2x+1$（$x\in \mathbf{R}$）的反函数为 $f^{-1}(x)$，则函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象是 ()

A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D. （四个对数曲线选项）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=2x+1$ 反解 $x={\log }_2(y-1)$。
2. 反函数 $f^{-1}(x)={\log }_2(x-1)$，定义域 $x>1$。
3. 渐近线 $x=1$，且 $x=2$ 时 $y=0$，与选项 A 相符。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=2x+1$ 得 $x={\log }_2(y-1)$，故反函数为 $y=f^{-1}(x)={\log }_2(x-1)$，其定义域为 $x>1$． 该图象以直线 $x=1$ 为竖直渐近线，且过点 $(2,0)$，与选项 A 的图象相符． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数对数图象识别

核心方法：反解 $x={\log }_2(y-1)$ 得 $f^{-1}(x)={\log }_2(x-1)$，定义域 $x>1$，过 $(2,0)$，竖直渐近线 $x=1$

避坑指南：反函数 $y={\log }_2(x-1)$ 的图象是 $y={\log }_{2}x$ 右移 1 单位，不是左移；先看定义域 $x>1$ 排除，再看定点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于反函数与原函数图象关于 $y=x$ 对称，教材”反函数”一节

结论推广：一般化：$y=a^x$ 的反函数 $y={\log }_{a}x$，定义域、值域互换，图象关于 $y=x$ 对称

方法推广：反函数图象与原函数图象关于 $y=x$ 对称；识别对数曲线看定义域与渐近线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2008-陕西卷文-07 单-反函数与对数运算
• 2009-陕西卷文-03 单-反函数
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较