2009-陕西卷文-03 单-反函数

本题导读

考查反函数。$y=\sqrt{2x-4}$（$x⩾4$）的值域为 $y⩾2$，反解得 $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2$（$x⩾2$），选 D。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 函数 $f(x)=\sqrt{2x-4}$（$x⩾4$）的反函数为 ()

A. $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}{x}^2+4$（$x⩾0$）　　　　　　　　B. $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}{x}^2+4$（$x⩾2$）

C. $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2$（$x⩾0$）　　　　　　　　D. $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2$（$x⩾2$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=\sqrt{2x-4}$，$x⩾4$ 时 $y⩾\sqrt{8-4}=2$。
2. 反解：$y^2=2x-4$，$x=\frac{y^2}{2}+2$。
3. 互换 $x,y$：$f^{-1}(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2$，定义域 $x⩾2$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

当 $x⩾4$ 时，$y=\sqrt{2x-4}⩾\sqrt{2\times 4-4}=2$，即原函数的值域为 $[2,+\infty )$。 由 $y=\sqrt{2x-4}$，得 $y^2=2x-4$，即 $x=\frac{y^2}{2}+2$。 互换 $x,y$，反函数为 $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2$（$x⩾2$），故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法与定义域

核心方法：反解、互换、注定义域（定义域 = 原函数值域）

避坑指南：原题 $x⩾4$ 决定值域 $y⩾2$，故反函数定义域是 $x⩾2$ 而非 $x⩾0$，常数项 $+2$ 而非 $+4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数图象与原函数图象关于直线 $y=x$ 对称。

结论推广：定义域限制是反函数题的第一陷阱：必须先求原函数值域，再落笔写反函数。

方法推广：特殊值互检：$f(4)=2$，则反函数应满足 $f^{-1}(2)=4$，四个选项逐一验证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-02 单-反函数
• 2009-广东卷文-04 单-反函数
• 2009-大纲卷II文-02 单-反函数求法
• 2009-上海卷文-01 填-反函数