2007-陕西卷文-12 单-三时段调和平均速度

本题导读

本题考查平均速度，以及调和平均。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为 $v_1$、$v_2$、$v_3$，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为 ()

A. $\frac{v_1+v_2+v_3}{3}$　B. $\frac{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}}{3}$　C. $\sqrt[3]{v_1{v}_2{v}_3}$　D. $\frac{3}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}}$

🔍【思路分析】

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1. 设每个时段增长量为 $s$，则各时段时间分别为 $\frac{s}{v_1},\frac{s}{v_2},\frac{s}{v_3}$。
2. 总增长量 $3s$，总时间 $s\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}\right)$。
3. 平均速度 $=\frac{3s}{s(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3})}=\frac{3}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设三个连续时段内的增长量都为 $s$，则各时段的时间分别为 $\frac{s}{v_1},\frac{s}{v_2},\frac{s}{v_3}$． 整个时段的总增长量为 $3s$，总时间为 $s\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}\right)$， 故整个时段内的平均增长速度为 $\frac{3s}{s\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}\right)}=\frac{3}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}}$（即 $v_1,v_2,v_3$ 的调和平均）． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三时段调和平均速度

核心方法：三时段增长量同为 $s$，总时间 $s\sum \frac{1}{v_i}$，平均速度 $=\frac{3s}{s\sum \frac{1}{v_i}}=\frac{3}{\sum \frac{1}{v_i}}$

避坑指南：平均速度不是算术平均 $\frac{v_1+v_2+v_3}{3}$，等量（等路程/等增量）取调和平均；设增长量为 $s$ 再约掉最清晰

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于平均速度（调和平均）的实际应用，与”往返平均速度”同源

结论推广：一般化：等量（等路程、等增量、等时间）情形下，平均速率取调和平均 $\frac{n}{\sum \frac{1}{v_i}}$

方法推广：平均速度问题设总量为 $s$，用”总量/总时间”最稳妥，避免直接平均的陷阱

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练(Links)

• 2012-陕西卷文-10 单-往返平均速度
• 2011-陕西卷文-10 单-树苗选址中位数
• 2010-陕西卷文-04 单-平均数与标准差