2011-陕西卷文-10 单-树苗选址中位数

本题导读

本题考查函数最值的实际应用，以及绝对值求和的最小值。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 植树节某班 $20$ 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 $10$ 米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从 $1$ 到 $20$ 依次编号.为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为 ()

A. $1$ 和 $20$　　　B. $9$ 和 $10$　　　C. $9$ 和 $11$　　　D. $10$ 和 $11$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：写出总路程 $S(k)=10\sum _{j=1}^{20}|j-k|$
2. 步骤2：分析 $k$ 移动一格时 $S$ 的增量

✅【答案】

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D$10$ 和 $11$

✍【详细解析】

Abstract

设树苗放在第 $k$ 个坑旁，总路程 $S(k)=10\sum _{j=1}^{20}|j-k|$（单位：米）。

考察把放置点从第 $k$ 坑移到第 $k+1$ 坑：左侧（编号 $⩽k$）的 $k$ 名同学每人多走 $10$ 米，右侧（编号 $⩾k+1$）的 $20-k$ 名同学每人少走 $10$ 米，总变化量为 $10\left[k-(20-k)\right]=10(2k-20)$ 米。

当 $k<10$ 时变化量为负，$S$ 随 $k$ 增大而减小；当 $k>10$ 时变化量为正，$S$ 随 $k$ 增大而增大；$k=10$ 与 $k=11$ 处 $S$ 相等且最小。

故最佳坑位为第 $10$ 和第 $11$ 号，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值和的最小值；中位数的最优性；逐点增量分析

核心方法：比较相邻两个放置点的总路程增量 $\Delta =10(20-2k)$，由增量符号定最小值位置

避坑指南：偶数个点的”中位数”是一段而非一点：$20$ 个坑的中位位置是第 $10$、$11$ 坑之间，两处总路程相等；只盯着单点（选 B 或 C）是忽略了偶数情形的最优解不唯一。增量中”离开的人省”与”靠近的人费”两边人数别数错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：选址最值题与 2024-新高考II卷-04、2026-新高考I卷-01 同族（中位数视角）。

结论推广：推广：数轴上 $n$ 个点 $x_1⩽\cdots ⩽x_n$，$\sum |x_i-t|$ 在 $t$ 取中位数时最小；$n$ 为偶数时最小值在 $[x_{\frac{n}{2}},x_{\frac{n}{2}+1}]$ 上恒取得。

方法推广：选址/绝对值和最值题：不用硬算总和，比较相邻放置点的增量即可；增量由”少走人数 $-$ 多走人数”决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04_概率与统计主题

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-04 单-统计中位数极差平均数
• 2026-新高考I卷-01 单-中位数