2007-陕西卷文-13 填-二项展开指定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及指定项系数。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） $(1+2x{)}^5$ 的展开式中 $x^2$ 项的系数是　　　　（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 二项式展开的通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k(2x{)}^k$。
2. $x^2$ 项对应 $k=2$。
3. 系数 ${\mathrm{C}}_5^2\cdot 2^2=10\times 4=40$。

✅【答案】

点击查看答案

40

✍【详细解析】

Abstract

由二项式定理，$(1+2x{)}^5$ 的一般项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k(2x{)}^k={\mathrm{C}}_5^k{2}^k{x}^k$． 令 $k=2$ 得 $x^2$ 项，其系数为 ${\mathrm{C}}_5^2\cdot 2^2=10\times 4=40$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开指定项系数

核心方法：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k(2x{)}^k$，$x^2$ 项取 $k=2$，系数 ${\mathrm{C}}_5^2\cdot 2^2=40$

避坑指南：系数含 $2^k$，是 ${\mathrm{C}}_5^2\times 4=40$ 不是 $10$；$(1+2x{)}^5$ 的 $2$ 是 $x$ 的系数，别忘了乘进指定项系数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于二项式定理的展开式通项，教材”二项式定理”基础题

结论推广：一般化：$(a+b{)}^n$ 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$，指定项系数含 $a,b$ 的幂

方法推广：找指定项先令次数相等定 $k$，再算系数；注意区分”二项式系数 ${\mathrm{C}}_n^k$“与”项的系数”

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练(Links)

• 2008-陕西卷文-14 填-二项式指定项系数
• 2009-陕西卷文-06 单-赋值法求系数和
• 2015-陕西卷文-16 填-归纳规律