2008-陕西卷文-14 填-二项式指定项系数

本题导读

$T_{k+1}={\mathrm{C}}_7^k(-2{)}^k{x}^{-k}$，$k=2$ 时系数为 ${\mathrm{C}}_7^2\times (-2{)}^2=21\times 4=84$.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） ${\left(1-\frac{2}{x}\right)}^7$ 的展开式中 $\frac{1}{x^2}$ 的系数为　　　.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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二项 $(1+t{)}^n$ 型：通项按 $k$ 展开在 $\frac{2}{x}$ 上；要 $x^{-2}$ 就令 $k=2$，系数带符号一起算.

✅【答案】

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$84$

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_7^k{\left(-\frac{2}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_7^k(-2{)}^k{x}^{-k}$．令 $-k=-2$，得 $k=2$．所以 $\frac{1}{x^2}$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_7^2(-2{)}^2=21\times 4=84$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式的指定项系数

核心方法：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_7^k(-2{)}^k{x}^{-k}$，令 $-k=-2$ 定 $k=2$

避坑指南：所求是系数 ${\mathrm{C}}_7^2(-2{)}^2=84$，符号为正，别写成 $-84$；“二项式系数”与”系数”不同，本题要的是后者

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材二项式定理通项公式的标准应用

结论推广：${\left(1+\frac{t}{x}\right)}^n$ 中 $x^{-m}$ 项的系数为 ${\mathrm{C}}_n^m{t}^m$

方法推广：求指定项统一走通项公式：定 $k\to$ 算 ${\mathrm{C}}_n^k\to$ 算幂与符号；负指数 $x^{-k}$ 与系数 $(-2{)}^k$ 分开处理

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