2007-陕西卷文-16 填-平面向量基本定理

本题导读

本题考查平面向量基本定理，以及向量的坐标分解。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 如图，平面内有三个向量 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$，其中 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 的夹角为 $120^{\circ }$，$\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OC}$ 的夹角为 $30^{\circ }$，且 $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，$|\overrightarrow{OC}|=2\sqrt{3}$．若 $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$（$\lambda ,\mu \in \mathbf{R}$），则 $\lambda +\mu$ 的值为　　　　

🔍【思路分析】

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1. 取 $\overrightarrow{OA}$ 方向为 $x$ 轴正方向，以 $O$ 为原点建立坐标系。
2. $\overrightarrow{OA}=(1,0)$，$\overrightarrow{OB}=(\cos 120^{\circ },\sin 120^{\circ })=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。
3. $\overrightarrow{OC}=2\sqrt{3}(\cos 30^{\circ },\sin 30^{\circ })=(3,\sqrt{3})$。
4. 由 $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$ 比较坐标得 $\lambda ,\mu$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

取 $\overrightarrow{OA}$ 所在方向为 $x$ 轴正方向，以 $O$ 为原点建立平面直角坐标系． $\overrightarrow{OA}=(1,0)$，$\overrightarrow{OB}=(\cos 120^{\circ },\sin 120^{\circ })=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$， $\overrightarrow{OC}=2\sqrt{3}(\cos 30^{\circ },\sin 30^{\circ })=(3,\sqrt{3})$． 由 $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$，得 $\lambda (1,0)+\mu \left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=(3,\sqrt{3})$． 比较坐标：由 $y$ 坐标 $\frac{\sqrt{3}}{2}\mu =\sqrt{3}$，得 $\mu =2$；由 $x$ 坐标 $\lambda -\frac{1}{2}\mu =3$，得 $\lambda =4$． 故 $\lambda +\mu =6$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量基本定理

核心方法：取 $\overrightarrow{OA}$ 为 $x$ 轴，$\overrightarrow{OA}=(1,0)$，$\overrightarrow{OB}=(\cos 120^{\circ },\sin 120^{\circ })$，$\overrightarrow{OC}=2\sqrt{3}(\cos 30^{\circ },\sin 30^{\circ })$，比较坐标

避坑指南：$\overrightarrow{OB}$ 与 $x$ 轴成 $120^{\circ }$，横坐标是 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 是负的；$\overrightarrow{OC}$ 用 $30^{\circ }$，$|OC|=2\sqrt{3}$ 要乘进坐标

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于平面向量基本定理，教材”平面向量基本定理”中向量的坐标分解

结论推广：一般化：平面内任意向量都可用两个不共线向量唯一线性表示，系数由坐标比较求得

方法推广：取好基向量（如 $\overrightarrow{OA}$ 沿 $x$ 轴），把各向量用坐标表示，再比较系数解方程

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练(Links)

• 2013-陕西卷理-16 解-向量坐标运算
• 2009-陕西卷文-08 单-向量中点数量积
• 2014-陕西卷文-13 填-向量数量积