2014-陕西卷文-13 填-向量数量积

本题导读

展开 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，用二倍角公式化简后约去 $\cos \theta$。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） 设 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$，向量 $\mathbf{a}=(\sin 2\theta ,\cos \theta )$，$\mathbf{b}=(1,-\cos \theta )$，若 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，则 $\tan \theta =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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数量积为零即 $\sin 2\theta -{\cos }^2\theta =0$，化为 $2\sin \theta \cos \theta ={\cos }^2\theta$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\sin 2\theta -{\cos }^2\theta =0$，即 $2\sin \theta \cos \theta ={\cos }^2\theta$。 因为 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$，所以 $\cos \theta >0$，两边除以 $\cos \theta$ 得 $2\sin \theta =\cos \theta$。 故 $\tan \theta =\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积的坐标运算与同角三角关系

2. 核心方法：数量积展开后约去 $\cos \theta$

3. 避坑指南：$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ 保证 $\cos \theta >0$，两边才能除以 $\cos \theta$；若忽略这一条件直接约分，可能在 $\cos \theta =0$ 处出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 平面向量数量积的坐标运算与同角三角函数关系。

2. 结论推广: $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$；$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$。

3. 方法推广: 向量垂直（数量积为零）给出一个三角方程，先展开，再用角的范围确定可约去的因子。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-13 填-向量平行的坐标表示
• 2014-新课标II卷文-14 填-三角恒等变换